Sample Selection

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Sample Selection may be endogenous. To fix this idea, consider a two-stage process.

In the first stage, we have a pair $(Y,X)$ , and in the second stage, this pair is either selected into sample or unobserved ( $S=0$ ).

Consider a very simple case, where,

$$Y=X^{\prime }\beta +e\text{with}\mathbb{E}[e|X]=0$$

Conditional mean for observed (selected) sample is:

$$\mathbb{E}[Y|X,S=1]=X^{\prime }\beta +\mathbb{E}[e|X,S=1]$$

If the second term is not 0, we have a selection bias.

Consider a latent variable for whether to select:

$$S^{\ast }=Z^{\prime }\gamma +u$$

where $u\sim N(0,1)$

把这个当作一个 threshold 去理解，当 $S^{\ast }>0$ ，那么 individual 就会 select，反之就不会。因为我们永远都无法真正观测到 $S^{\ast }$ ,所以它就是 Latent Variable Model

$Y$ is also considered as a Latent Variable Model:

$$Y^{\ast }=X^{\prime }\beta +e$$

where $Y=Y^{\ast }$ if $S=1$ , otherwise we could not observe $Y$ . We also assume $\mathbb{E}[e|u]=\theta u$ .

Try to estimate this…

For simplicity, we let $W=(X,Z)$ .

$$\mathbb{E}[Y^{\ast }|W,u]=X^{\prime }\beta +\theta u$$

By LIE,

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y^{\ast }|W,S]& =\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y^{\ast }|W,u,S]|W,S]\\ & =X^{\prime }\beta +\theta \mathbb{E}[u|X,S]\end{array}$$

• If $\theta =0$ , simply OLS from $Y$ on $X$ can consistently estimate $\beta$
• If $\theta \ne 0$ , the model is

$$\mathbb{E}[Y|W,S=1]-X^{\prime }\beta +\theta \mathbb{E}[u|X,S=1]$$

If we know $\mathbb{E}[u|X,S=1]$ , we can still consistently estimate $\beta$ and $\theta$ .

Estimation

We have two ways…

第 80 页给出两种方法：

方法 1：NLLS（非线性最小二乘）。 直接把 $\beta ,\theta ,\gamma$ 一起估计，最小化：

${\sum }_{i=1}^n{\left(Y_i-X_i^{\prime }\beta -\theta \frac{\varphi (Z_i^{\prime }\gamma )}{\Phi (Z_i^{\prime }\gamma )}\right)}^2$

所有参数同时优化，一步到位。

方法 2：Heckman 两步法。 把问题拆开：

1. 先用 probit 从 $S$ 对 $Z$ 回归，得到 $\hat{\gamma }$，具体来说，回顾第75-76页的模型：$S^{\ast }=Z^{\prime }\gamma +u$，$S=I\{S^{\ast }>0\}$，$u\sim N(0,1)$。
2. 这就是一个标准的Binary模型——$S$ 是二元因变量（是否被选入样本），$Z$ 是回归变量，$\gamma$ 是待估参数。所以直接套用第28-31页学过的probit框架：
3. $P[S=1|Z]=\Phi (Z^{\prime }\gamma )$
4. 最大化对应的log-likelihood得到 $\hat{\gamma }$。
5. 拿到 $\hat{\gamma }$ 后，你就能对每个观测计算 $\frac{\varphi (Z_i^{\prime }\hat{\gamma })}{\Phi (Z_i^{\prime }\hat{\gamma })}$，这个值变成第二步OLS中一个”已知的”回归变量。本质上，第一步的目的就是估计出选择机制，从而在第二步中修正选择偏差。
6. 把 $\frac{\varphi (Z_i^{\prime }\hat{\gamma })}{\Phi (Z_i^{\prime }\hat{\gamma })}$ 当作已知的回归变量，OLS 从 $Y$ 对 $X$ 和这个变量回归，得到 $\hat{\beta }$ 和 $\hat{\theta }$

两步法的优势是计算简单——每一步都是你熟悉的标准估计。代价是第二步的标准误不能直接用 OLS 默认输出，因为 $\hat{\gamma }$ 本身有估计误差，这个不确定性需要被考虑进去（第 80 页最后一行强调的）。