We usually name the IV be .
A valid instrument should satisfy:
- Instrument Relevance: (Easy to declare)
- Instrument Exogeneity: (Hard to argue)
We then use 2-Stage Least Square (2SLS) to estimate this question.
- Regress endogeous regressor on , get
- Regress on
GPT
From GPT 4o:
核心问题：OLS 为什么失效？
在理想状态下，我们用 OLS 估计这样的模型：
要求 x 与 ε 不相关。
但如果：
- x 与 ε 有相关性（比如 x 受某个遗漏变量的影响，而这个变量也影响 y）
- 或 x 本身受 y 的影响（同时性）
- 或 x 测量有误
那么 OLS 就会失败，因为它把“ε 的一部分”当成了 x 的一部分，估计出来的 就偏了！
🪄 工具变量的直观比喻
🎻 比喻：看清因果的“望远镜”
想象你在看一个模糊的目标（x 对 y 的真实影响），但你眼前有雾（ε）。这时，你需要一个望远镜（工具变量 z），它：
- 能看向 x 的方向（z 与 x 有强相关性）
- 但不被雾气干扰（z 与 ε 无关）
这样，你通过 z 观察 x 的变化，从而间接地判断 x 对 y 的影响。
📊 图解直观（文字版）
潜在真实关系：
z → x → y
问题：
ε ↔ x → y
我们无法直接用 x 回归 y，因为 x 与 ε 有关，导致偏误。
解决方案：
使用 z 来“提取” x 中与 ε 无关的那部分，用来回归 y。🧪 一个简单例子：教育对收入的影响
我们想估计：
收入=β⋅受教育年限+ε\text{收入} = \beta \cdot \text{受教育年限} + \varepsilon收入=β⋅受教育年限+ε
但问题是：
- 教育程度可能受家庭背景影响
- 家庭背景同时影响收入
所以教育年限（x）与误差项（ε）相关，OLS 不可靠。
🍀 好的工具变量：离家远近
研究发现：上大学离家远的人更可能选择上大学，但离家远本身不会直接影响收入。
于是，“离家远近”可以作为工具变量 z：
- z 影响 x（教育程度）
- z 不直接影响 y（收入），只通过 x 起作用
🧠 数学直觉
OLS 的问题：
IV 的解决方案：
找一个变量 ，使得：
- : 与误差项无关（外生性）
- ： 与解释变量相关（相关性）
通过 来构造一个“净化版”的 ，从而得到一致的估计。
2SLS 是怎么做的？
-
第一阶段：用 去预测 ：
x=πz+ux = \pi z + ux=πz+u
得到预测值 x^\hat{x}x^
-
第二阶段：用 x^\hat{x}x^ 回归 y：
y=βx^+残差y = \beta \hat{x} + \text{残差}y=βx^+残差
这样，x^\hat{x}x^ 是 x 的“干净版本”，不受 ε 污染。
✅ 小结：IV 的关键直觉
| 问题 | 工具变量的作用 |
|---|---|
| x 与 ε 有相关性 | 工具变量帮助我们“避开” ε 的干扰 |
| OLS 估计有偏 | IV 提供一致的估计 |
| z 与 x 相关但与 ε 无关 | 用 z 来“提纯” x |
| 2SLS 实现 | 两步法清除内生性影响 |
📌 一个口诀记忆工具变量：
“相关不相关”——
相关： 与 要相关
不相关：z 与 ε 要不相关