Supply Correspondence

EC487_Advanced_Microeconomics

Supply Correspondence is a more general concept of Supply function.

本质上是一种对应关系

Mathematically,

• Function: $y^s:{\mathbb{R}}_{+}\to {\mathbb{R}}_{+}$
• Correspondence: $y^s:{\mathbb{R}}_{+}\rightrightarrows {\mathbb{R}}_{+}$

为什么需要correspondence?

• 当利润函数不是严格凹时，可能有多个最优解
• 例如constant returns to scale时，任何产量都可能是最优的

二、第(i)题：确定$\beta$的值

Cost function的性质

一个合理的cost function必须满足：

1. 对input prices一次齐次（Homogeneous of degree 1）: $c(\lambda w_1,\lambda w_2,y)=\lambda c(w_1,w_2,y),\forall \lambda >0$

   经济直觉: 如果所有要素价格翻倍，总成本也应该翻倍

2. 对output非递减: $\frac{\partial c}{\partial y}\ge 0$

3. 对input prices非递减: $\frac{\partial c}{\partial w_i}\ge 0$

验证齐次性

给定 $c(w_1,w_2,y)=\beta w_1^{\beta }{w}_2^{\beta }{y}^4$

计算： $c(\lambda w_1,\lambda w_2,y)=\beta (\lambda w_1{)}^{\beta }(\lambda w_2{)}^{\beta }{y}^4=\beta {\lambda }^{\beta +\beta }{w}_1^{\beta }{w}_2^{\beta }{y}^4$

要使其等于 $\lambda c(w_1,w_2,y)=\lambda \beta w_1^{\beta }{w}_2^{\beta }{y}^4$，必须：

$\boxed{2\beta =1\Rightarrow \beta =\frac{1}{2}}$

所以cost function变为： $c(w_1,w_2,y)=\frac{1}{2}\sqrt{w_1{w}_2}\cdot y^4$

三、第(ii)题：单个生产者的Supply Correspondence

完全竞争市场的利润最大化

在perfectly competitive market中，生产者是price taker，利润最大化问题为：

${\max }_{y\ge 0}\pi (y)=p\cdot y-c(w_1,w_2,y)$

其中 $p$ 是output price（外生给定）。

一阶条件（FOC）

$\frac{\partial \pi }{\partial y}=p-\frac{\partial c}{\partial y}=0$

即：价格等于边际成本

$\boxed{p=MC(y)=\frac{\partial c}{\partial y}}$

计算边际成本

$\frac{\partial c}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{1}{2}\sqrt{w_1{w}_2}\cdot y^4\right]=\frac{1}{2}\sqrt{w_1{w}_2}\cdot 4y^3=2\sqrt{w_1{w}_2}\cdot y^3$

求解supply correspondence

由FOC： $p=2\sqrt{w_1{w}_2}\cdot y^3$

解出 $y$: $y^3=\frac{p}{2\sqrt{w_1{w}_2}}$

$\boxed{y^s(p,w_1,w_2)={\left(\frac{p}{2\sqrt{w_1{w}_2}}\right)}^{1/3}}$

验证二阶条件（SOC）

$\frac{{\partial }^2\pi }{\partial y^2}=-\frac{{\partial }^{2}c}{\partial y^2}=-6\sqrt{w_1{w}_2}\cdot y^2<0$

SOC满足！这说明这是最大值，而且是唯一的，所以是supply function而不只是correspondence。

完整的Supply Correspondence

严格来说，supply correspondence应该考虑corner solution：

$y^s(p,w_1,w_2)=\{\begin{array}{llc}{\left(\frac{p}{2\sqrt{w_1{w}_2}}\right)}^{1/3}& \text{if }p>0[0,+\infty )& \text{if }p=0\end{array}$

但在 $p>0$ 时，supply就是唯一确定的function。

四、第(iii)题：Aggregate Supply Correspondence

定义

有 $n$ 个相同的生产者，aggregate supply就是所有individual supply的总和：

$Y^s(p,w_1,w_2)=n\cdot y^s(p,w_1,w_2)$

计算

$\boxed{Y^s(p,w_1,w_2)=n{\left(\frac{p}{2\sqrt{w_1{w}_2}}\right)}^{1/3}}$

性质分析

1. 对价格递增: $\frac{\partial Y^s}{\partial p}=n\cdot \frac{1}{3}{\left(\frac{p}{2\sqrt{w_1{w}_2}}\right)}^{-2/3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{w_1{w}_2}}>0$

2. 对input prices递减:

   • 要素价格上升 $\Rightarrow$ 边际成本上升 $\Rightarrow$ 供给下降

3. Homogeneity: $Y^s(\lambda p,\lambda w_1,\lambda w_2)=n{\left(\frac{\lambda p}{2\sqrt{\lambda w_1\cdot \lambda w_2}}\right)}^{1/3}=n{\left(\frac{p}{2\sqrt{w_1{w}_2}}\right)}^{1/3}=Y^s(p,w_1,w_2)$

   Supply对所有价格零次齐次（货币中性）

六、与Consumer Theory的对比

Producer Theory	Consumer Theory
Profit maximization	Utility maximization
$\max py-c(w,y)$	$\max u(x)$ s.t. $px\le w$
FOC: $p=MC$	FOC: $MRS=p_1/p_2$
Supply function	Demand function
Cost function $c(w,y)$	Expenditure function $e(p,u)$

Shephard’s Lemma的对偶:

• Consumer: $\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_{\ell }}=h_{\ell }(p,u)$ （Hicksian demand）
• Producer: $\frac{\partial c(w,y)}{\partial w_i}=x_i(w,y)$ （Conditional factor demand）

总结

第(ii)题答案: $y^s(p,w_1,w_2)={\left(\frac{p}{2\sqrt{w_1{w}_2}}\right)}^{1/3}$

第(iii)题答案: $Y^s(p,w_1,w_2)=n{\left(\frac{p}{2\sqrt{w_1{w}_2}}\right)}^{1/3}$

核心思路:

1. 利润最大化 $\Rightarrow$ 价格等于边际成本
2. 解出optimal output
3. 相同生产者 $\Rightarrow$ 总供给 = $n$ 倍个人供给

$\{\begin{array}{ll}{x}_1^A+x_2^A=\bar{x}& \text{（A的预算约束）}\\ x_1^B+x_2^B=\bar{x}& \text{（B的预算约束）}\\ x_1^A+x_1^B=\bar{x}& \text{（市场出清：商品1）}\\ x_2^A+x_2^B=\bar{x}& \text{（市场出清：商品2）}\end{array}$