EC484 Review Notes

Exam Information

Exam Format: Long-term paper (2 hours)

Paper Structure:

• Part 1: Taisuke Otsu (50 marks)
  • Bootstrap, Causal Inference, Limited Dependent Variables, Machine Learning
• Part 2: Vassilis Hajivassiliou (50 marks)
  • Topic 0, Time Series, Panel Data

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Part 1: Taisuke Otsu

Topic 1: Bootstrap (自举法)

Key Concepts

Bootstrap (Bootstrap) 一种基于重采样的统计推断方法

直觉理解：通过从原始样本中有放回抽取大量"伪样本"(pseudo-samples)，模拟统计量的抽样分布。这让我们能在不依赖强分布假设的情况下推断置信区间和标准误。

核心价值：当理论分布未知或样本量较小、非标准时，Bootstrap 提供了一种更可靠的方法进行推断。

Bootstrap 算法步骤

1. 基本算法 (Pairs Bootstrap)

   • 原始样本：$\{(Y_i,X_i),i=1,\dots ,n\}$
   • 从 $\{1,\dots ,n\}$ 中有放回地随机抽取 $n$ 个观测值，构成 Bootstrap 样本
   • 对每个 Bootstrap 样本，计算估计量 ${\hat{\theta }}_b^{\ast }$（例如 OLS 估计量）
   • 重复 $B$ 次，得到 $\{{\hat{\theta }}_1^{\ast },\dots ,{\hat{\theta }}_B^{\ast }\}$
   • 计算标准误：$s_{\text{boot}}^2=\frac{1}{B-1}{\sum }_{b=1}^B({\hat{\theta }}_b^{\ast }-{\bar{\hat{\theta }}}^{\ast }{)}^2$

2. 置信区间 (CI) 构建

   • 正态近似 CI：$C^{nb}=[\hat{\theta }-z_{1-\alpha /2}{s}_{\text{boot}}^{\ast },\hat{\theta }+z_{1-\alpha /2}{s}_{\text{boot}}^{\ast }]$
   • 百分位 CI：$C^{pc}=[q_{\alpha /2}^{\ast },q_{1-\alpha /2}^{\ast }]$ 其中 $q^{\ast }$ 是 $\{{\hat{\theta }}^{\ast }$ 的分位数
   • Percentile-t CI：比正态近似更精确，收敛速度 $O(n^{-3})$ vs $O(n^{-1/2})$

Bootstrap 理论

Bootstrap CLT

• 条件：$E[|Z{|}^2]<\infty$，$\sqrt{n}({\hat{\theta }}^{\ast }-\theta )\stackrel{d}{\to }N(0,V)$
• 结论：$\sqrt{n}({\hat{\theta }}^{\ast }-\theta )\stackrel{d}{\to }N(0,V)$ 其中 $V=E[g(Z)\cdot Z^{\prime }$（Bootstrap 估计的方差）

Bootstrap 一致性

• 条件：$G_n^{\ast }(u)\to G(u)$ 其中 $G_n^{\ast }$ 是样本经验分布
• 结论：$G_n^{\ast }$ 是 $G_0$ 的一致估计量

应用

1. OLS 回归

• Bootstrap 样本：从 $(Y_i,X_i)$ 中有放回抽取
• 估计：${\hat{\beta }}_{\text{boot}}^{\ast }$ 是 Bootstrap OLS 估计量
• 用途：构造参数的置信区间和标准误

2. GMM

• 重中心化时刻：$\bar{g}(\hat{\theta })=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}g(Z_i,\hat{\theta })$
• Bootstrap 权重矩阵：$\hat{\Omega }=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}g(Z_i,\hat{\theta })g(Z_i,\hat{\theta }{)}^{\prime }$
• 注意：需要使用 Recentered Bootstrap 以实现高阶精度的置信区间

题型模式

典型考题：

• 理论证明：证明 Bootstrap WLLN/CLT
• 计算题：计算 Bootstrap 标准误、置信区间
• 应用题：使用 Bootstrap 估计 ATE、LATE 或构建置信区间

PS1 Q3-4：理解 Bootstrap 的收敛性质，证明弱大数定律适用于 Bootstrap 样本

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Topic 2: Causal Inference (因果推断)

Potential Outcomes Framework

潜在结果模型

• $Y_1$：如果受到处理的结果
• $Y_0$：如果没有受到处理的结果
• 观测结果：$Y=W\cdot Y_1+(1-W)\cdot Y_0$

核心识别问题：$E[Y_1-Y_0]$ 无法识别，因为我们永远无法同时观察到同一个体在处理组和对照组的结果。

识别策略

1. Randomization (随机化)

• **假设：$(R)$ 处理分配与潜在结果独立
• 直觉：随机分配打破了处理与潜在结果的任何相关性，使得 $E[Y_1-Y_0|W,X]=E[Y_1-Y_0|X]$ 成立
• 识别量：ATE（平均处理效应）$=E[Y_1-Y_0]=E[Y_1]-E[Y_0]$

2. Conditional Independence (条件独立性, CI)

• 假设：$\{(Y_0,Y_1),X\}\perp W$
• 直觉：给定控制变量 $X$，处理变量 $W$ 与潜在结果条件独立
• 识别量：$\theta (x)=E[Y_1-Y_0|X=x]$
• 估计：$\hat{\theta }(x)=\frac{1}{n_0}{\sum }_{i:W_i=1}{Y}_i-\frac{1}{n_1}{\sum }_{i:W_i=0}{Y}_i$（匹配估计量，条件期望差）

3. Inverse Propensity Score Weighting (逆概率加权)

• 倾向得分：$p(X)=P[W=1|X=x]$
• 权重：$w_i=\frac{p(X_i)}{1-p(X_i)}$（处理者权重 $1/p$，对照组权重 $1/(1-p)$）
• 估计量：${\hat{\theta }}_{\text{IPS}}={\sum }_{i=1}^n{w}_i{Y}_i$

4. Instrumental Variables (工具变量, IV)

• 设定：$Y=D\theta +X\beta +ϵ$，$D=Z\gamma +V$，$Z$ 为 IV
• 假设：$E[ϵ|Z,X,V]=0$，$Cov(Z,ϵ)=0$
• 识别条件：$Cov(Z,X)\ne 0$ 且 $\gamma \ne 0$（IV 相关性强）
• 2SLS 估计：${\hat{\theta }}_{2SLS}=\frac{E[Z^{\prime }Y]}{E[Z^{\prime }X]}$

Difference-in-Differences (DID, 双差分)

DID 估计量

• 公式：${\hat{\theta }}_{\text{DID}}=({\bar{Y}}_{T,\text{treated}}^{Post}-{\bar{Y}}_{T,\text{treated}}^{Pre})-({\bar{Y}}_{C,\text{treated}}^{Post}-{\bar{Y}}_{C,\text{treated}}^{Pre})$
• 直觉：DID 消除了时间趋势和对照组的初始差异，分离出处理效应。前提是”平行趋势假设”(Parallel Trends Assumption)。

回归设定

• $Y_{it}={\beta }_0+{\beta }_1{\text{Treated}}_{it}\cdot {\text{Post}}_t+{\beta }_2{\text{Treated}}_{it}\cdot \text{Post}+{\beta }_3{\text{Treated}}_{it}\cdot \text{Post}+u_{it}+{\lambda }_t+{\alpha }_i$
• DID 参数：${\beta }_1$（处理效应）

Local Average Treatment Effect (LATE, 局部平均处理效应)

LATE 设定

• 四个类型：Never-taker, Complier, Always-taker, Defier
• 潜在状态：$(W_0,W_1)$：$Z=0$ 和 $Z=1$ 时处理状态
• LATE 定义：${\theta }_{\text{LATE}}=E[Y_1-Y_0|W_1>W_0]$（Compliers 的平均处理效应）

识别条件

1. Independence: $(Y_0,Y_1,W_0,W_1)\perp Z$
2. Monotonicity: $P[W_1\ge W_0|Z]\ge P[W_1\ge W_0|Z]$（工具变量增加处理概率的单调性）
3. Exclusion Restriction: $P[W_1=1|Z=1,W_0=0]=P[W_1=1|Z,W_0=1]\ge P[W_1=1|Z]$（工具变量只通过 $W_1$ 影响处理）

Wald 估计量

• 公式：${\hat{\theta }}_{\text{LATE}}=\frac{{\bar{Y}}_{Z=1}-{\bar{Y}}_{Z=1}}{{\bar{W}}_{Z=1}-{\bar{W}}_{Z=0}}{\bar{W}}_{Z=1}-{\bar{W}}_{Z=1}$
• 还原：${\hat{\theta }}_{\text{LATE}}=\frac{{\bar{Y}}_{\text{Complier}}-{\bar{Y}}_{\text{Non-complier}}}{{\bar{W}}_{\text{Complier}}-{\bar{W}}_{\text{Non-complier}}}$

LATE 捕捉的是工具变量引起的处理效应变化，适用于那些对工具变量有反应的个体。这个估计量不一定等于 ATE，但它是最容易识别的平均处理效应。

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Topic 3: Limited Dependent Variables (受限因变量, LDV)

Binary Choice Models (二值选择模型)

Probit 模型

• 设定：$Y=\mathbb{I}\{X^{\prime }\beta >0\}$，$Y^{\ast }=X^{\prime }\beta +ϵ$，$ϵ\sim N(0,1)$
• 潜变量：$Y^{\ast }=X^{\prime }\beta +ϵ$
• 概率：$P[Y=1|X=x]=\Phi (X^{\prime }\beta )$
• 对数似然：$\ell (\beta )={\sum }_{i=1}^n[Y_i\log \Phi (X_i^{\prime }\beta )+(1-Y_i)\log (1-\Phi (X_i^{\prime }\beta ))]$

Logit 模型

• 设定：概率函数为 Logit：$P[Y=1|X=x]=\frac{\exp (X^{\prime }\beta )}{1+\exp (X^{\prime }\beta )}$
• 对数似然：$\ell (\beta )={\sum }_{i=1}^n[Y_i{X}_i^{\prime }\beta -\log (1+\exp (X_i^{\prime }\beta ))]$
• 优势：无 IIA 假设，且计算更简单

Logit 的优势在于它不需要独立无关选项假设(IIA)，这在现实中更合理。

Ordered Models (有序模型)

Ordered Probit/Logit

• 设定：$U^{\ast }=X^{\prime }\beta +ϵ$，$Y=\{\begin{array}{llc}1& \text{if }{U}^{\ast }\le {\alpha }_1& \\ 2& \text{if }{\alpha }_1<U^{\ast }\le {\alpha }_2& \\ ⋮& k+1& \text{if }{\alpha }_k<U^{\ast }\le {\alpha }_{k+1}\end{array}$
• 识别：$\beta ,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$ 通过 MLE 估计

Censored Data (截尾数据)

Tobit 模型

• 潜变量：$Y^{\ast }=X^{\prime }\beta +ϵ$，$ϵ\sim N(0,{\sigma }^2)$
• 观测：$Y=\max \{0,Y^{\ast }\}$
• 概率：$P[Y=y|X=x]=\{\begin{array}{ll}\Phi (-X^{\prime }\beta /\sigma )& y>0\\ \frac{1}{\sigma }\varphi ((y-X^{\prime }\beta )/\sigma )& y=0\end{array}$
• 对数似然：基于这个概率分布构建

截尾发生在 $Y^{\ast }\le 0$ 时，OLS 会对小于零的观测值产生系统性偏差（因为 $E[Y|X=x]\ne E[Y^{\ast }|X=x]=X^{\prime }\beta$），导致估计量 $\hat{\beta }$ 向零方向偏倚。

Censored LAD (绝对损失)

• 目标函数：$Q_n(\beta )={\sum }_{i=1}^n|Y_i-\max \{0,X_i^{\prime }\beta \}|$
• 优势：只需要中位数假设 $\text{Med}[ϵ|X]=0$，不需要正态性假设，估计量 $\sqrt{n}$ 一致收敛

Sample Selection Models (样本选择模型)

Heckman Selection Model

• 问题：样本不是随机抽取的，而是某些个体被排除的（例如只有高收入者参与调查）
• 设定：
  • 选择方程：$D=Z^{\prime }\gamma +u$，$D=1$ 如果 $Z^{\prime }\gamma +u>0$
  • 结果方程：$Y=X^{\prime }\beta +\alpha D+ϵ$，$Y$ 观测仅当 $D=1$ 时
• 识别条件：$E[ϵ|X,Z]=0$，$\text{Cov}(ϵ,u)=0$
• OLS 问题：在 $D=1$ 的子样本中估计 $\beta$ 会产生选择偏差

样本选择机制使得样本不再是总体的代表，简单的 OLS 估计不再有效。Heckman 两步法通过建模选择过程来校正这个偏差。

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Topic 4: Machine Learning (机器学习)

Bias-Variance Trade-off (偏差-方差权衡)

增加更多变量可以减少偏差（模型更接近真实），但会增加方差（模型对训练数据过拟合）。

模型复杂度与预测误差

• 训练误差：${\text{Err}}_{\text{train}}=E[(Y-{\hat{f}}_{\text{train}}(X){)}^2]$
• 泛化误差：${\text{Err}}_{\text{test}}=E[(Y-{\hat{f}}_{\text{test}}(X){)}^2]$（$X$ 来自与训练分布不同的总体）
• 偏差-方差权衡：选择适当的模型复杂度

Ridge Regression (岭回归)

设定

• 目标：${\min }_{\beta }\Vert \beta {\Vert }_2^2+\lambda \Vert \beta {\Vert }_2$ 其中 $\lambda >0$ 是岭参数
• 解：${\hat{\beta }}_R=(X^{\prime }X+\lambda I_p{)}^{-1}{X}^{\prime }Y$
• 性质：${\hat{\beta }}_R$ 有偏（shrinkage toward zero），方差更小

Ridge 通过惩罚大系数防止过拟合，适合 $p>n$ 的高维情况。岭参数 $\lambda$ 通常通过交叉验证选择。

关于如何理解p-norm

Lasso Regression (最小绝对收缩)

设定

• 目标：${\min }_{\beta }\Vert \beta {\Vert }_2+\lambda \Vert \beta {\Vert }_1$（注意是 $l_1$-norm）
• 解：无显式解，使用优化算法（如坐标下降）
• 性质：稀疏性（sparse）：许多 ${\hat{\beta }}_{L,j}$ 被压缩为零

Lasso 同时进行变量选择和系数收缩，特别适合当真实 $\beta$ 本身稀疏时。$l_1$ 惩罚使得不重要的变量系数为零。

所以 Lasso 本质上是一种降维的方法，但是由于是显示解，是否代表着考试不会重点考察呢？（迷思）

High-Dimensional Inference (高维推断)

Lasso IV

• 第一步：对每个 $X_j$ 用 Lasso 估计其与工具变量 $Z$ 的关系
• 第二步：用 Lasso 估计量 ${\hat{X}}_L$ 作为工具变量
• 第二步回归：${\hat{\beta }}_{\text{LIV}}=({\hat{X}}_L^{\prime }{\hat{X}}_L{)}^{-1}{\hat{X}}_L^{\prime }Y$

当工具变量 $p\gg n$ 时，传统 IV 失效。Lasso 通过降维选择有效的工具变量，使得 IV 回归可行。

Partialling-Out Lasso

• 设定：$Y=D\theta +X^{\prime }\beta +ϵ$，$D=Z^{\prime }\gamma +u$
• 第一步：用 Lasso 估计 $Y$ 对 $X$ 和 $Z$ 的关系（去噪）
• 第二步：用 Lasso 估计 $D$ 对 $Z$ 的关系（去噪）
• 最终回归：在去噪后的残差上估计 $\theta$

Partialling-out Lasso 通过分离变量选择步骤和估计步骤，使得 $\theta$ 的估计量渐近正态且有效。

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Part 2: Vassilis Hajivassiliou

Topic 0: Mathematical Background (数学背景)

Key Concepts (基本假设)

1. Weak Stationarity (弱平稳性)

   • 定义：$E[Y_t]=\mu$（常数），$\text{Cov}(Y_{t+h},Y_t)=\gamma (h)$（仅依赖于间隔 $h$）
   • 数学表示：$Y_t=\mu +{\eta }_t$，其中 ${\eta }_t$ 是平稳过程

2. Strict Stationarity (严平稳性)

   • 定义：分布 $f(Y_t)$ 不随时间变化（与 $t$ 无关）
   • 更强条件：严平稳性意味着弱平稳性且整个分布平稳（不依赖时间位置）

3. Ergodicity (各态历经性)

   • 定义：样本均值收敛到总体均值：$\bar{Y}\stackrel{p}{\to }E[Y_t]$
   • 意义：保证大数定律适用于时间序列样本

如果序列是非各态历经的（如带有永久初始条件 $W_0$ 的随机游走），样本均值可能不收敛到总体均值，OLS 估计量会不一致。

4. White Noise (白噪声)
   • 定义：$\{{ϵ}_t\}$ 满足 $E[{ϵ}_t]=0$，$\text{Cov}({ϵ}_{t+h},{ϵ}_t)=0$（序列不相关）
   • 性质：白噪声是最简单的时间序列模型，是所有模型的基础。

Stochastic Processes (随机过程)

MA(q) Process (移动平均过程)

• 定义：$Y_t={ϵ}_t+{\lambda }_1{ϵ}_{t-1}+\cdots +{\lambda }_q{ϵ}_{t-q}$
• 平稳性：总是平稳的，自相关在 $q$ 阶后消失
• ACF 特征：自相关函数 \rho(h) = \frac{\lambda_1 \rho(h-1) + \cdots + \lambda_q \rho(h-q)}

AR(p) Process (自回归过程)

• 定义：$Y_t={\gamma }_1{Y}_{t-1}+\cdots +{\gamma }_p{Y}_{t-p}+{ϵ}_t$
• 平稳条件：特征方程根 $1-{\gamma }_{1}z-\cdots -{\gamma }_p{z}^p$ 的所有根在单位圆内
• AR(1) 条件：$|{\gamma }_1|<1$

考点：如果 $|{\gamma }_1|=1$（单位根），过程有爆炸性（exponential growth），非平稳。这是单位根检验的核心。

Newey-West HAC (异方差-自相关一致标准误)

问题

• 当误差项存在自相关时，OLS 的标准误公式 $\hat{V}={\hat{\sigma }}^2(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }Y$ 不再有效
• 解决：Newey-West 估计量

Newey-West 公式

\hat{V}_{NW} = \hat{\sigma}^2 \left[ \sum_{t=1}^T X_t'X_t + \sum_{h=-H+1}^H \left(1+\frac{h}{H+1}\right)X_t'X_t\right] \right]^{-1}X'X'Y

其中 ${\hat{\sigma }}^2$ 是同方差估计量，$H=1+\frac{2}{3}$ 是带宽参数，$K(H)$ 是核函数。

PS4：计算 HAC 标准误，理解 Bartlett 核的作用是给远期干扰项赋予较小的权重。

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Topic 1: Time Series Econometrics (时间序列计量)

ARIMA(p,d,q) Models

设定

• 差分方程：${\Delta }^p{Y}_t=(1-{\sum }_{j=1}^p{\Delta }^j{Y}_{t-j})+{ϵ}_t$
• 平稳条件：${\Delta }^p(z)=1-{\sum }_{j=1}^p{\Delta }^j{z}^j$ 的所有根在单位圆内
• AR 部分：${\Phi }^p(z)=1-{\sum }_{j=1}^p{\Delta }^j{z}^{-j}$

单位根检验

• ADF 统计量：检验原假设 $H_0:\rho =1$（存在单位根）
• 检验统计量：$t_{\text{ADF}}=\frac{\hat{\rho }-1}{\sqrt{\text{Var}(\hat{\rho }-1)}}$
• 临界值：取决于显著性水平和样本量

PS4：解释 ADF 统计量的极限分布，理解当原假设成立时统计量是标准正态分布。

ARMA(联合模型, 自回归移动平均)

VAR(Vector Autoregression, 向量自回归)

• 设定：$Y_t={\sum }_{j=1}^p{B}_j{Y}_{t-j}+{ϵ}_t$，$Y_t\in {\mathbb{R}}^k$
• 矩阵形式：$Y_t=B{Y}_{t-1}+{ϵ}_t$
• 含义：每个变量都是其自身和其他变量的滞后值的函数

Granger Causality (格兰杰因果性)

• 定义：如果包含 $X_{t-1},\dots ,X_{t-k}$ 的滞后项能显著改善 $Y_t$ 的预测，则称 $X$ Granger causes $Y$。
• 因果方向：Granger 因果性是单向的，从过去预测未来，而不是反向因果关系。

考点：Granger 因果性不等价于真实的因果关系，只是预测意义上的因果性。

Forecasting (预测)

预测准确度评估

• MSE (均方误差)：$\text{MSE}=\frac{1}{n}{\sum }_{t=1}^T(Y_{t+h}-{\hat{Y}}_{t+h|X_t}{)}^2$
• MAD (平均绝对误差)：$\text{MAD}=\frac{1}{n}{\sum }_{t=1}^T|Y_{t+h}-{\hat{Y}}_{t+h|X_t}|$

样本外预测 (Out-of-sample Forecasting)

• 概念：用历史数据预测未来值
• 滚动预测：使用滚动窗口（如最近 10 期）预测下一期
• 模型选择：根据信息准则（AIC, BIC）选择滞后阶数

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Topic 3: Panel Data Econometrics (面板数据)

Data Structure (数据结构)

双索引表示

• 堆叠格式：$(y_1,\dots ,y_S,x_1,\dots ,x_S{)}^T\cdot \beta +ϵ$
• 平衡面板：每个个体 $i$ 的 $T_i$ 相同
• 非平衡面板：$T_i$ 因人而异

滞后格式

• 快格式：$\{y_{it}{\}}_{i=1,t=1}^{N\times 1}$
• 长格式：$\{y_{it}{\}}_{i=1}^{N\times T_i}$

静态面板模型

固定效应模型

• 设定：$y_{it}={\alpha }_i+X_{it}^{\prime }\beta +{ϵ}_{it}+u_i$
• 含义：${\alpha }_i$ 是个体的固定效应（不随时间变化）

动态面板模型

一阶差分动态模型

• 设定：$y_{it}=\delta y_{i,t-1}+\rho y_{i,t-1}+X_{it}^{\prime }\beta +\Delta {ϵ}_{it}$
• 平稳性条件：$|\rho |<1$

GMM 估计量

• 目标：\bar{g}(\theta) = \frac{1}{N\sum_{i=1}^T g(y_{it}-\bar{y}_i, X_{it}, \theta)

估计方法比较

方法	一致性	渐近正态	计算复杂度	适用场景
Pooled OLS	❌ (若 $E[{\alpha }_{i}X]\ne 0$)	❌	简单	❌ 短面板
RE (随机效应)	⚠️ (若 $E[{\alpha }_{i}X]\ne 0$，不一致)	✅	简单	✅ 短面板
FE (固定效应)	✅	✅	较复杂	✅ 长面板
FE-GMM	✅	✅	简单	⚠️ (若 $\alpha$ 非正态)

RE 方法利用了不同个体之间的变异信息，效率更高但前提是 $E[{\alpha }_{i}X]=0$（外生性）。FE 方法不需要这个假设，对短面板（$T$ 小）更适用。

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Part 1 题型重点 (Otsu Exam Pattern Analysis)

Bootstrap 题型

1. 理论证明：Bootstrap WLLN/CLT 的成立条件

   • 证明 $\sqrt{n}({\bar{\hat{\theta }}}^{\ast }-\theta )\stackrel{d}{\to }N(0,V)$
   • 关键：需要验证 $E[g(Z{)}^2]<\infty$ 且 $E[g(Z)]=0$

2. Bootstrap vs 渐近理论

   • 比较两者在有限样本下的表现
   • 解释为什么 Bootstrap 在某些情况下更准确（特别是非对称分布）

3. 应用题：计算 Bootstrap CI 并与 asymptotic CI 比较

Causal Inference 题型

1. LATE 计算：给定工具变量 $Z$，计算 Wald 估计量

   • 需要计算 First Stage 的回归系数 $\hat{\Gamma }$ 和 $\hat{\pi }$

2. DID 设定：建立回归 $Y={\beta }_0\text{Treated}\times \text{Post}+{\beta }_1\text{Treated}\times \text{Post}+\dots$

   • 估计 ${\beta }_1$ 作为处理效应

3. ATT vs ATE

   • ATT：$E[Y_1-Y_0|\text{Treated}=1,\text{Post}=1]$（处理组的平均效应）
   • ATE：$E[Y_1-Y_0]$（总体平均效应）
   • 考点：如果处理组和对照组不可比，ATT 可能与 ATE 不同

LDV 题型

1. Probit/Logit 估计

   • 使用 MLE 估计 $\beta$ 和 $\sigma$（或仅 $\beta$）
   • 计算边际效应：$\frac{\partial P[Y=1|X=x]}{\partial x}=g(X^{\prime }\beta )$

2. Tobit 似然函数

   • 最大化的目标函数
   • 解决方法：需要数值优化

3. 截尾 vs OLS 比较

   • 展示 Tobit 估计量的偏差
   • 解释为什么 OLS 估计向下偏倚

Machine Learning 题型

1. K 折交叉验证

   • 目的：选择最优岭参数 $\lambda$
   • 计算：每个 $\lambda$ 的 CV 误差

2. Lasso 解路径

   • 坐标下降的 KKT 条件
   • 稀疏解的性质：${\hat{\beta }}_{L,j}=0$ 当 $|X_{ij}|$ 较小时

Time Series 题型

1. ARMA 识别

   • 根据 ACF/PACF 判断过程类型
   • 确定 $p$ 和 $q$ 的阶数

2. 单位根检验

   • 计算检验统计量
   • 根据 MacKinnon 临界值做出决策

3. Newey-West HAC

   • 给定 $H$，计算 Bartlett 核权重
   • 构建 HAC 一致方差协方差矩阵

4. VAR 的简化

   • 在特定约束下简化 VAR 估计
   • 例如：施加系数约束

Panel Data 题型

1. FE vs RE

   • Hausman 检验：比较固定效应和随机效应模型
   • 解释检验统计量的构造
   • 决策：根据 $p$-value 和模型选择

2. 动态面板

   • Arellano-Bond 估计：加入滞后因变量作为工具
   • 估计量的一致性证明

3. 样本选择校正

   • 处理 attrition 导致的非平衡样本
   • 逆概率加权估计

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Part 2 题型重点 (Hajivassiliou Exam Pattern Analysis)

Topic 0 题型

1. 矩阵代数

   • 向量微积分
   • 分部积分技巧

2. OLS 理论

   • 高斯-马尔可夫夫不等式
   • 线性估计量的性质

3. 最优化问题

   • 拉格朗日乘子
   • 目标函数凸性检查

Time Series 题型

1. 平稳性检验

   • ADF, PP, KPSS 检验
   • 解释每种检验的原假设

2. ARIMA 模型设定

   • Box-Jenkins 方法
   • 识别和估计 ARMA 过程

3. VAR 估计

   • Yule-Walker 方程
   • 检验系统的稳定性

Panel Data 题型

1. 固定效应估计

   • 最小二乘虚拟变量法（LSDV）
   • 组内变换（Within transformation）

2. 随机效应估计

   • GLS 方法
   • 矩阵代数求解
   • 方差分量模型

3. 动态面板

   • GMM 估计
   • 处理初始条件和动态参数

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考试策略

Part 1 (Otsu 部分)

1. Bootstrap 题型

   • 证明时写清假设：iid 样本、有限方差、分布连续
   • 步骤完整：先说明 Bootstrap 构造，再证明收敛性质

2. 因果推断题型

   • 先建立潜在结果框架
   • 明确写出识别假设
   • 推导估计量的表达式

3. LDV 题型

   • Probit: 写出对数似然函数
   • Tobit: 写出截断的观测机制
   • 注意两类模型的不同假设

Part 2 (Hajivassiliou 部分)

1. Topic 0 题型

   • 展示完整推导过程
   • 标明每一步的数学逻辑

2. Time Series 题型

   • 推导 ADF 检验统计量的极限分布
   • 解释单位根检验的经济含义

3. Panel Data 题型

   • 推导 Within transformation
   • 证明 $Q$ 变换的性质（对称性等幂等）
   • 比较 FE 和 RE 的渐近方差

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常见考点速查 (Quick Reference)

统计量检验

检验	原假设	检验统计量	决策规则
ADF	单位根 $\rho =1$	$t_{\text{ADF}}$	$	t_{\text{ADF}}	> 1.96$ 时拒绝	若 $\tau <0$，更可能拒绝
PP	单位根 $\rho =1$	$t_{\text{PP}}$	检验 $\varphi (z)$ 的零点	同 ADF
KPSS	2 个单位根	${\varphi }_1(z)$ 和 ${\varphi }_2(z)$	两根都等于1	$\varphi (1)\varphi (2)=0$
J-Bera	系统单根检验	$\pi (z)$	$\varphi (1)\pi (2)=0$	与 PP 等价

估计方法

| 方法 | 公式/算法 | 适用条件 | 优缺点 | |------|----------|----------|----------|----------| | OLS | $(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }Y$ | $X$ 满秩，外生性 | 简单高效 | | 2SLS | $E[Z^{\prime }ϵ|X]=0$ | $X$ 外生 | 修正异方差 | 简单 | | GMM | $\hat{\theta }=\arg \min \Vert g(\theta )\Vert W^2$ | 最优加权 | 渐近正态 | | MLE | ${\max }_{\theta }\prod f(y|\theta )$ | 分布假设 | 窄面最有效 | | Bootstrap | $\frac{1}{B}\sum ({\hat{\theta }}_b-\bar{\theta }{)}^2$ | 无分布假设 | 稳健 |

因果推断

| 估计量 | 识别假设 | 适用条件 | |------|----------|----------|----------| | ATE | $E[Y_1-Y_0|W]$ | 随机分配 | 简单 | | LATE | $E[Y_1-Y_0\mid W_1>W_0]$ | 局部效应 | 单调性 + 排他性 | | Wald | $\frac{{\bar{Y}}_{Z=1}-{\bar{Y}}_{Z=1}}{{\bar{W}}_{Z=1}-{\bar{W}}_{Z=0}}$ | 工具变量有效性 | 2SLS/IV 替代 | | DID | $\Delta {\bar{Y}}_{T,C}^{Post}-\Delta {\bar{Y}}_C^{Pre}$ | 平行趋势 | 假设验证 | | IV | $E[Z^{\prime }D]=0,\text{Cov}(Z,D)\ne 0$ | 外生性 | 不限制样本选择 |

高维推断

| 问题 | 解决方案 | |------|----------|----------|----------| | $p\gg n$ | Lasso 降维 + 岭回归 | 当预测变量多时有效 | | 样本选择 | 建模观测机制 + Heckman 两步法 | 处理选择性偏差 |

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重要提示

考试时需要注意

1. Bootstrap 题型

   • 区分 pairs bootstrap 和 residual bootstrap
   • Percentile-t CI 需要 $B\ge 1000$ 才能精确
   • 注意偏差校正：${\hat{\theta }}_{\text{bias-corrected}}=2{\hat{\theta }}^{\ast }-\hat{\theta }$

2. 因果推断题型

   • DID 需要”平行趋势假设”
   • LATE 不等于 ATE（需要解释区别）
   • Wald 估计量的正确还原

3. 时间序列题型

   • 单位根检验要明确检验的假设
   • Newey-West 的 $K(H)$ 是截断参数

4. 面板数据题型

   • RE 需要 $E[{\alpha }_{i}X]=0$（外生性）
   • Within 估计量 $\sqrt{n}$ 一致收敛

公式速查

核心公式

Otsu 部分

• Bootstrap 方差：${\hat{V}}_{\text{boot}}=\frac{1}{B-1}{\sum }_{b=1}^B({\hat{\theta }}_b-\bar{\hat{\theta }}{)}^2$
• Bootstrap 标准误：$s_{\text{boot}}=\sqrt{{\hat{V}}_{\text{boot}}}$

Hajivassiliou 部分

• Within 变换：$Q=I_N-X(X\otimes )D$ 是幂等矩阵
• Wald 检验：$J=N\cdot K+k_z$（$N\cdot k_z$）是自由度

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文档说明

文件结构：

EC484_Review.md
├── Part 1: Taisuke Otsu (75 marks)
├── Bootstrap
├── Causal Inference  
├── Limited Dependent Variables
└── Machine Learning

└── Part 2: Vassilis Hajivassiliou (75 marks)
    ├── Topic 0 (Background)
    ├── Matrix Calculus
    └── OLS Theory
    ├── Time Series
    └── Panel Data
        ├── Data Structure
        ├── Fixed Effects
        ├── Dynamic Panels
        └── Estimation Methods
    └── Key Topics

内容特色：

• ✅ 中英文双语术语
• ✅ 直觉解释块
• ✅ 公式完整
• ✅ 题型分析
• ✅ 考试策略
• ✅ 速查表

使用方法：

1. 按主题组织，按 Part 1 和 Part 2 分开
2. 每个主题包含：核心概念、公式、直觉、应用、题型分析
3. 使用 Obsidian callout 支持链接跳转
4. 重点公式单独成块，方便快速复习

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祝考试顺利！📚