Bayesian Updating

The procedure is like this:

Receiver has a prior $p (θ)$
Sender chooses his action $a_{1}$
Receiver based on this action $a_{1}$ , use Bayesian Inference to update his belief to the posterior $μ (θ ∣ a_{1})$
Receiver base on this $μ (θ ∣ a_{1})$ , chooses optimal $a_{2}$ .

The key here is that, indeed sender would have rational anticipation of what the receiver would do.

Signalling Games 预习框架

1. 核心框架（5分钟速览）

主要研究问题（第3-4页）：当信息不对称时，informed player（sender）如何通过行动向 uninformed player（receiver）传递私人信息？

核心模型结构（第4页）：

Player 1（sender）：知道自己的类型 $θ$ ，选择行动 $a_{1}$ （signal）
Player 2（receiver）：观察到 $a_{1}$ 后选择 $a_{2}$
关键：Player 1 的行动本身可以传递关于 $θ$ 的信息

关键结论（第13、22页）：

多重均衡问题：因为 off-path beliefs 可以任意设定，存在大量均衡
均衡精炼的必要性：需要通过 Intuitive Criterion 和 D1 Criterion 排除”不合理”的均衡
单调交叉条件： $\frac{\partial ^{2} c ( e , θ )}{\partial e \partial θ} < 0$ 确保分离均衡存在

2. 技术细节

Perfect Bayesian Equilibrium（第5页）

定义的两个核心要求：

策略最优：给定信念，各类型选择最优策略 $σ_{1} (\cdot ∣ θ) \in ar g max σ_{1} \sum a_{1}, a_{2} σ_{1} (a_{1} ∣ θ) σ_{2} (a_{2} ∣ a_{1}) u_{1} (a_{1}, a_{2}, θ)$
信念一致：在均衡路径上必须用 Bayes 法则 $μ (θ ∣ a_{1}) = \frac{p ( θ ) σ _{1} ( a _{1} ∣ θ )}{\sum θ ^{'} p ( θ ^{'} ) σ _{1} ( a _{1} ∣ θ ^{'} )}$

关键 intuition（第6页）：

“Perfect” = 每个子博弈都理性
“Weak” = off-path beliefs 不受约束

Spence Signalling 的分离均衡（第16-18页）

Incentive Compatibility 条件：

低类型不模仿高类型： $θ_{L} - 0 \geq θ_{H} - c (e_{H}, θ_{L})$
高类型不模仿低类型： $θ_{H} - c (e_{H}, θ_{H}) \geq θ_{L} - 0$

合并得到： $c (e_{H}, θ_{L}) \geq θ_{H} - θ_{L} \geq c (e_{H}, θ_{H})$

Intuition：

教育成本对低类型更高 → 高类型愿意用高教育”筛选”自己
单调交叉条件保证存在 $e_{H}$ 满足上述不等式

均衡精炼的核心逻辑

Intuitive Criterion（第24-26页）：

关键概念：

Equilibrium dominated：即使在”最好情况”下偏离也不划算
Reasonable beliefs：不应该认为会有”equilibrium dominated types”偏离

应用于 Beer-Quiche（第27-28页）：

Beer pooling 均衡：quiche 是 type $s$ 的 equilibrium dominated action → 合理信念只能是 $μ (w ∣ q) = 1$ → 均衡成立
Quiche pooling 均衡：beer 是 type $w$ 的 equilibrium dominated action → 但这导致 type $s$ 想偏离 → 均衡被排除

D1 Criterion（第36-38页）：

更严格的要求：只保留那些”从偏离中获益最多”的类型。

比较（第39页）：

Intuitive Criterion：至少存在某个 best response 让该类型偏离
D1：该类型从偏离中获益的 best responses 集合最大
D1 ⊂ Intuitive Criterion（更严格）

3. 概念连接

与 Lecture 1 的联系：

Lecture 1（第11-15页）介绍了 Bayesian Nash Equilibrium，这是静态不完全信息博弈的解概念。Signalling game 是动态不完全信息博弈，因此：

需要 Perfect Bayesian Equilibrium 而非简单的 BNE
增加了”信念更新”的动态维度
Off-path 信念的处理成为新问题

Single Crossing 与分离均衡（第19页）：

这个条件在 Lecture 1 的 Cournot 例子中也隐含存在：不同类型对同一行动的边际收益不同，才能通过行动分离类型。

Riley Outcome 的地位（第34页）：

最小成本分离均衡 $c (e_{H}, θ_{L}) = θ_{H} - θ_{L}$ 是唯一通过 Intuitive Criterion 的均衡，这与 Lecture 1 中”dominant strategy”思想类似——最”自然”、最”稳健”的均衡。

预习重点：

理解 off-path beliefs 为何导致多重均衡
掌握 Intuitive Criterion 的”equilibrium dominated”逻辑
记住单调交叉条件的作用

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Signalling Game