EC487 Review

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EC487 复习笔记

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Category	Found	Use in this note
Syllabus / Outline	EC487 - Syllabus 2026.pdf	课程主题顺序、考试与 problem set 信息
Lecture slides	lecture slides/lecture 1-7 - no pauses.pdf	主体定义、模型、公式、证明思路
Supplement slides	lecture slides/repeated contribution game.pdf; lecture slides/EC487_Lecture_3_Sup.pdf; lecture slides/slides on intuitive and d1.pdf	补充 repeated public good 与 Intuitive/D1 refinement；后两个 D1 文件内容重复，引用 EC487_Lecture_3_Sup.pdf
Problem sets	problem sets/EC487_WT_Pset1-9.pdf	题型映射与 problem-first roadmap
Solutions	solutions/pset1,2,4,6,7,9-solutions.pdf	解题结构、常见技巧；PS3/5/8 未见对应 solution
Past exam	exam2025.pdf	唯一 past exam 证据；不能过度外推“必考/不考”

Exam Information

Exam Evidence

• 2025 试卷有 4 道必答题，全部计分、等权，每题 25 分；阅读 15 分钟，写作 2 小时，不允许计算器或额外材料。Exam 2025 页 1
• 2025 的四题分别覆盖：Beer-Quiche signalling/refinements，hidden type + hidden action contract，two-period repeated contracting with belief updating，Crawford-Sobel cheap talk。Exam 2025 页 2-5
• 因为这是唯一 past exam，最稳妥的推断不是“只考这四块”，而是：老师偏好让学生在熟悉模型中重新构造 equilibrium、IC/IR、belief updating、threshold/indifference condition。Exam 2025 页 2-5｜推荐练习：PS3 Q3, PS4 Q1-Q2, PS6 Q2

Economic Intuition

考试像是在考一件事：当信息不对称时，均衡不是“把最优选择算出来”这么简单，而是要同时问三层东西：谁知道什么，别人如何从行动中更新信念，以及这个信念是否让行动本身成为最优。

Course Map: One Logic

EC487 的七个主题可以串成一条线：

1. Games of Incomplete Information：先把“不知道别人 payoff/type”形式化成 type + beliefs + strategy。Syllabus 页 1; Lec 1 课件页 7-15
2. Signalling Games：行动开始携带信息；均衡依赖 off-path beliefs，所以需要 refinement（改进）。Lec 2 课件页 4-13, 23-39｜推荐练习：PS3 Q1-Q3, Exam 2025 Q1
3. Cheap Talk and Reputation：信息可以是无成本语言，也可以来自动态历史；前者受偏好冲突约束，后者靠未来信念制造当前激励。Lec 3 课件页 3-22, 23-31｜推荐练习：PS4 Q1-Q3, PS5 Q1, Exam 2025 Q4
4. Adverse Selection：隐藏类型进入市场价格，导致 trade set 自我选择，可能 unravel。Lec 4 课件页 3-12｜推荐练习：PS5 Q2-Q3
5. Moral Hazard：隐藏行动进入合同，导致最优工资必须在 insurance 与 incentives 之间折中。Lec 5 课件页 3-28｜推荐练习：PS6 Q1-Q2, PS7 Q1, Exam 2025 Q2-Q3
6. Mechanism Design：从“给定 game 求均衡”反过来，问 designer 怎样设计规则让 truth-telling 成为均衡。Lec 6 课件页 3-23｜推荐练习：PS7 Q2, PS8 Q1-Q2
7. Optimal Auctions：机制设计应用到多买家 allocation；收入最大化不是最高 value，而是最高 virtual value。Lec 7 课件页 3-24｜推荐练习：PS9 Q1-Q4

Economic Intuition

整门课的 motivation 是：市场和博弈里的“效率失败”很多不是因为人笨或市场不够竞争，而是因为 information constraints 改变了可实施的集合。高级微观的核心工作，就是把这种 constraint 写成 IC、IR、belief consistency、monotonicity 或 likelihood-ratio 条件。

Topic 1: Games of Incomplete Information

Key Concepts

Definition

不完全信息博弈 (game of incomplete information) 可以写成 $G=(\Theta ,S,p,u)$：每个玩家有 type set ${\Theta }_i$、strategy set $S_i$、共同先验 $p$，以及 payoff function $u_i$。一个 Bayesian pure strategy 是函数 $s_i:{\Theta }_i\to S_i$，即“每种 type 选什么行动”。Lec 1 课件页 11, 15｜推荐练习：PS1 Q1

Economic Intuition

type 不是一个“标签”，而是把玩家私人知道的 payoff-relevant 信息装进模型。策略必须按 type 写，是因为同一个玩家在不同 type 下其实面对不同 incentives。

Definition

贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium, BNE) 是一组 type-contingent strategies，使每个 type 在给定自己信念与他人策略时最大化期望 payoff。Lec 1 课件页 15｜推荐练习：PS1 Q1, PS1 Q2

Economic Intuition

BNE 把“我不知道你是谁”转换成“我知道你按某个 type-dependent rule 行动”。所以 equilibrium 的固定点不是 action-to-action，而是 strategy rule-to-strategy rule。它的核心思想就是每个类型在给定条件信念下都最优响应。

$$s_i({\theta }_i)=\arg \underset{{\theta }_i}{\max }\sum _{{\theta }_{-i}}p({\theta }_{-i}|{\theta }_i)u_i(s_i^{\prime },s_{-i}({\theta }_{-i}),({\theta }_i,{\theta }_{-i}))$$

Answer Technique

写 BNE 时先列出每个 player/type 的策略变量，再写每个 type 的 best response。Cournot with private costs 的答案结构就是：$(q_1^{\ast },q_2^{\ast }(c_H),q_2^{\ast }(c_L))$，然后分别对 firm 1 的 expected profit 与 firm 2 各 type 的 profit 写 FOC。PS1 Q1; Sol PS1 课件页 1-2

Models

Definition

Harsanyi transformation：把不完全信息博弈看作自然 (Nature) 先抽取 type 的完全但不完美信息博弈。Lec 1 课件页 12-14

想象有一个“神”

Economic Intuition

这一步的作用是把“玩家不知道游戏是什么”变成“玩家知道一个更大的游戏，但不知道自然选了哪个 node”。这样我们可以继续用 game tree、belief updating 和 sequential rationality。

Definition

Public good provision with private costs：两人决定是否 contribute；收益为 1，成本 $c_i$ 私人知道。均衡通常是 threshold strategy：存在 $c_i^{\ast }$，使玩家在 $c_i\le c_i^{\ast }$ 时 contribute。Lec 1 课件页 16-19; repeated contribution game 课件页 1-2

Formula

若 $z_{-i}$ 是对方 contribute 的均衡概率，玩家 $i$ 在 $c_i\le z_{-i}$ 时 contribute；若成本 $U[0,2]$，对称均衡 threshold 为 $c^{\ast }=2/3$。Lec 1 课件页 18-19; repeated contribution game 课件页 1-2

Economic Intuition

私人低成本者更愿意贡献；但每个人都想 free ride，所以 threshold 由“自己贡献的 marginal cost”和“对方贡献概率带来的 marginal benefit”相等决定。均衡贡献概率内生，因为它来自对方同样的 threshold rule。

Definition

Higher-order beliefs 是“我相信什么”“我相信你相信什么”“我相信你相信我相信什么”的无限层级；Email game 显示 almost common knowledge 不等于 common knowledge。Lec 1 课件页 20-29｜推荐练习：PS2 Q1

不会出现在 Exam, Global game 不会考，但是求 equilibrium 是值得复习的。

Economic Intuition

Coordination 需要的不只是每个人都很确定 payoff 好，还需要每个人都确定别人也确定，别人也确定自己确定，如此循环。一个很小的信息结构差异可以摧毁共同知识，从而改变均衡。

Problem Pattern

Global games 题型用 noisy private signals 选出唯一 threshold equilibrium；PS2 要证明 $x^{\ast }=1/2$，并连接 risk dominance。PS2 Q1; Sol PS2 课件页 1-3

Answer Technique

看到 global game：先猜 cutoff strategy，再计算 conditional payoff from investing；用 indifference condition 固定 cutoff；最后解释 $\sigma \to 0$ 时选择 risk-dominant equilibrium。PS2 Q1; Sol PS2 课件页 1-3

Dynamic Incomplete Information

Definition

Perfect Bayesian Equilibrium (PBE) 由策略与 beliefs 组成：每个 history 上策略都在给定 beliefs 下最优；on-path beliefs 由 Bayes rule 更新。Lec 1 课件页 39-40; Lec 2 课件页 3-6

Economic Intuition

PBE 是 Bayesian game 里的 backward induction。关键区别是：继续往后推时，玩家不是只看 payoff，还要用历史行动重新估计对方 type。

Definition

Repeated entry game：incumbent 可能 weak 或 tough，第一期行动会向第二个 entrant 传递 type 信息；weak incumbent 可能为了 reputation 在第一期 fight。Lec 1 课件页 31-38; Lec 3 课件页 24-25

Economic Intuition

Reputation 的核心不是“fight 本身赚钱”，而是 fight 改变后来者的 posterior belief。短期亏损可以购买长期威慑。

Formula

Repeated public good contribution 的两期版本中，第一期 threshold $c^{\ast }$ 由第一期 contribute 与 not contribute 的 continuation payoff 相等决定；历史 $h_1=00,11,01,10$ 会改变第二期的 posterior distribution。repeated contribution game 课件页 3-14

Economic Intuition

第一期行动既产生当前公共品 payoff，也透露成本类型。低成本者贡献会让别人未来更愿意指望他继续贡献，因此动态信息可能放大或压低第一期贡献激励。

Problem Patterns

Problem Pattern

• BNE calculation with private payoff/cost types：写 type-contingent best responses。PS1 Q1; Sol PS1 课件页 1-2
• Purification：用小的私人 payoff shocks 支撑纯策略 threshold，并让极限对应 complete-information mixed equilibrium。PS1 Q2; Sol PS1 课件页 3-4
• Global games：用 noisy signals 和 cutoff 选择 risk-dominant action。PS2 Q1; Sol PS2 课件页 1-3
• Disclosure game：证明低/高 type 在 costless disclosure 下几乎都选择 reveal。PS2 Q2

Common Mistakes

• 把 Bayesian strategy 写成一个 action，而不是 type-to-action function。Lec 1 课件页 15｜推荐练习：PS1 Q1
• 以为 posterior belief 可以随便设；on-path history 必须 obey Bayes rule。Lec 1 课件页 36-40
• 在 coordination/global game 中只看 $\theta$ 的概率很高，而忘记 higher-order beliefs。Lec 1 课件页 25-29｜推荐练习：PS2 Q1

Topic 2: Signalling Games

Key Concepts

Definition

Signalling game 的 timing：Nature 选 sender type；sender 观察 type 后选 signal/action；receiver 观察 signal 但不观察 type，然后选择 response；payoff 取决于 type、signal、response。Lec 2 课件页 4-6; EC487_Lecture_3_Sup 课件页 5-7

Economic Intuition

signal 有经济内容，是因为行动成本或 payoff 会随 type 改变。receiver 看到行动后问的不是“这个行动本身好不好”，而是“什么 type 有动力选择这个行动”。

Definition

Pooling equilibrium：不同 sender types 选择同一 signal；separating equilibrium：不同 types 选择不同 signals。Lec 2 课件页 7-13｜推荐练习：PS3 Q1-Q3, Exam 2025 Q1

Economic Intuition

Pooling 的好处是隐藏身份，坏处是信息不传递；separating 的好处是高 type 被识别，坏处是高 type 常常要烧掉资源来证明自己。

Beer-Quiche

暗示了可能会考，pset 里提到了 Mixed-Strategy Nash Equilibrium.

Definition

Beer-Quiche game 中 sender 是 surly 或 wimpy，先选 beer/quiche；receiver 观察 breakfast 后选择 fight/run away。多个 pooling/PBE 可能靠 off-path beliefs 支撑。Lec 2 课件页 7-13｜推荐练习：PS3 Q3, Exam 2025 Q1

究竟如何理解 off-path 这个概念？在理解这个概念之前，需要知道什么是 Equilibrium Path，指在均衡策略下，实际上会发生的序列。off-path 简单来理解就是“不应该发生的事”。

off-path 发生的核心问题就是 Bayes Rule 无法应用（因为此时此刻分母为 0），如果发生了，那么 Receiver 就没有信念可用。就过就是：off-path belief 可以任意设定。

Economic Intuition

模型的笑点其实很严肃：同一个 breakfast 对不同 type 的成本/偏好不同，所以 receiver 试图从早餐推断 toughness。但如果某个早餐从未在均衡路径上出现，belief 没有 Bayes rule 约束，就会出现很多“看似合法但不可信”的均衡。

Problem Pattern

2025 Q1 要判断 pooling、mixed-strategy equilibrium、intuitive criterion、payoff variation 下 separating/pooling 是否存在。Exam 2025 页 2｜推荐练习：PS3 Q3

Answer Technique

Beer-Quiche 题按四步写：先设 sender strategies；再用 on-path Bayes rule 算 receiver belief；再给 receiver best response；最后检查每个 sender type 是否愿意 deviation。refinement 题再问 off-path deviation 应该被归因于哪个 type。Lec 2 课件页 9-13, 27-28｜推荐练习：Exam 2025 Q1

Spence Signalling

Definition

Spence education signalling：worker type ${\theta }_L,{\theta }_H$，教育 $e$ 不提高 productivity，只作为 costly signal；firm 观察 $e$ 后给 wage $w$。Lec 2 课件页 14-22｜推荐练习：PS3 Q1-Q2

Formula

Firm 的 best-response wage 是 posterior expected productivity：

$$w(e)=\mu ({\theta }_H\mid e){\theta }_H+[1-\mu ({\theta }_H\mid e)]{\theta }_L.$$

Lec 2 课件页 15

Economic Intuition

竞争性 wage 等于期望 productivity。education 影响 wage 不是因为生产率变了，而是因为它改变了 firm 的 posterior belief。

Definition

Single-crossing condition：高 productivity type 的 signalling marginal cost 更低，通常写作 ${\partial }^{2}c(e,\theta )/\partial e\partial \theta <0$。Lec 2 课件页 18-19｜推荐练习：PS3 Q1

Economic Intuition

Separation 能成立，是因为同一个 signal 对低 type 太贵、对高 type 可承受。若 single crossing 不成立，education 就不能可靠地区分 types。

Formula

Two-type separating equilibria 满足 $e_L=0$，且

$$c(e_H,{\theta }_L)\ge {\theta }_H-{\theta }_L\ge c(e_H,{\theta }_H).$$

Least-cost separating equilibrium 进一步满足 $c(e_H,{\theta }_L)={\theta }_H-{\theta }_L$。Lec 2 课件页 17-18, 34｜推荐练习：PS3 Q1

Economic Intuition

左边约束防止低 type 模仿高 type；右边约束保证高 type 愿意付出 signal cost。least-cost separating 是“刚好吓退低 type”的最小浪费。

Formula

Pooling equilibrium at $e^{\ast }$ 可由 off-path beliefs 支撑；存在条件包括 $p({\theta }_H-{\theta }_L)\ge c(e^{\ast },{\theta }_L)$。Lec 2 课件页 20-22｜推荐练习：PS3 Q1-Q2

Economic Intuition

Pooling 靠的是：偏离者被 firm 悲观地解释成低 type。只要这种惩罚足够强，所有 types 都愿意留在 pool 中。

Equilibrium Refinements

Definition

Intuitive Criterion 排除某些 off-path beliefs：如果某个 deviation 对某些 type equilibrium dominated，却可能让另一些 type 获益，则 receiver 的 off-path belief 应该只放在“可能获益”的 type 上。Lec 2 课件页 23-31; EC487_Lecture_3_Sup 课件页 8-11

Economic Intuition

它把 off-path deviation 当作一段“信号语言”：如果某 type 绝不会这么做，就不应该用“也许是这个 type”来惩罚偏离。可信的 belief 要尊重偏离激励。

Definition

D1 Criterion 比 Intuitive Criterion 更强：它比较哪些 type 对某个 deviation 有更大的获益集合，保留“更可能 deviation”的 type。Lec 2 课件页 36-39; EC487_Lecture_3_Sup 课件页 29-34

Economic Intuition

Intuitive Criterion 问“谁可能偏离”；D1 进一步问“谁更有理由偏离”。所以 D1 的 surviving equilibria 集合通常是 Intuitive Criterion surviving equilibria 的子集。

Formula

在 two-type Spence 中，所有 pooling equilibria fail intuitive criterion；surviving equilibrium 是 least-cost separating equilibrium。多 type Spence 中 D1 选择 efficient/Riley outcome。Lec 2 课件页 29-35; EC487_Lecture_3_Sup 课件页 22-28, 35-51｜推荐练习：PS3 Q1-Q2

Economic Intuition

高 type 可以用略高于 pooling 的 education credible 地说：“低 type 付不起这个 signal，但我付得起。”因此 pooling 经不起合理 off-path belief。D1 在多 type 时更细，因为中间 type 和高 type 都可能偏离，需要比较谁从偏离中获益更多。

Problem Patterns

Problem Pattern

• Enumerate pooling/separating/mixed PBE in Beer-Quiche. PS3 Q3; Exam 2025 Q1
• Compare candidate Spence equilibria by type payoffs, firm payoffs, Pareto dominance. PS3 Q1
• Construct partial pooling and test intuitive criterion. PS3 Q2
• Apply Intuitive/D1 in stepwise form: identify dominated types, restrict beliefs, check deviation profitability. EC487_Lecture_3_Sup 课件页 8-11, 29-33｜推荐练习：PS3 Q2-Q3

Common Mistakes

• 只写 pooling/separating strategies，不写 beliefs 与 receiver best responses。Lec 2 课件页 5-6
• 把 off-path beliefs 当成完全自由；refinement 题中它们正是被限制的对象。Lec 2 课件页 23-39
• Spence 中忘记 low-type IC 是决定 least-cost signal 的关键。Lec 2 课件页 18, 34

Paula’s note: Intuitive Criterion is enough! D1 doesn’t matter.

Topic 3: Cheap Talk and Reputation Games

Cheap Talk

Definition

Crawford-Sobel cheap talk：sender 观察 $\theta \sim U[0,1]$ 后发送 costless message $m$；receiver 选 action $a$；receiver ideal action 是 $\theta$，sender ideal action 是 $\theta +b$。Lec 3 课件页 4-7｜推荐练习：PS4 Q1-Q3, Exam 2025 Q4

Economic Intuition

Cheap talk 的核心 tension 是：message 没有直接成本，所以它只能靠 receiver 的 equilibrium response 产生激励。communication 能不能有信息，取决于 sender 和 receiver 的偏好是否足够接近。

Formula

Receiver best response:

$$a^{\ast }(m)=E[\theta \mid m].$$

Sender payoff:

$${\pi }_S(a,\theta )={\bar{\pi }}_S-(a-(\theta +b){)}^2,$$

receiver payoff:

$${\pi }_R(a,\theta )={\bar{\pi }}_R-(a-\theta {)}^2.$$

Lec 3 课件页 5-7

Economic Intuition

Receiver 永远做 posterior mean，因为 quadratic loss 下 mean 最小化 expected squared error。Sender 的 bias $b$ 使他想把 receiver action 往上推。

Definition

Babbling equilibrium 总是存在：message 不传递信息，receiver 忽略 message 并选 prior mean $1/2$。Lec 3 课件页 8-9

Economic Intuition

如果 receiver 不相信 message，sender 也没有理由让 message 随 state 改变。No information transmission 本身可以自我实现。

Formula

Fully revealing equilibrium 存在当且仅当 $b=0$。当 $b>0$ 时，sender 总想夸大 state，使 truth-telling 不能被 sustained。Lec 3 课件页 10-12

Economic Intuition

完全揭示需要 sender 与 receiver 想要同一个 action。只要 sender 有 bias，他就会希望 receiver 比真实 state 反应更强一点。

Formula

Two-message interval equilibrium 的 cutoff 是

$${\theta }_1=\frac{1}{2}-2b,$$

存在条件是 $b\le 1/4$。Lec 3 课件页 15-18｜推荐练习：PS4 Q1, Exam 2025 Q4a

Economic Intuition

高 message 的区间更大，因为 biased sender 更愿意把中间 state 往高处报。receiver 知道这一点，于是均衡只能 coarse：message 表示一个区间，而不是精确 state。

Formula

$n$-interval equilibrium 的相邻区间长度满足

$$({\theta }_{k+1}-{\theta }_k)=({\theta }_k-{\theta }_{k-1})+4b.$$

Lec 3 课件页 19-21｜推荐练习：PS4 Q1-Q2, Exam 2025 Q4

Economic Intuition

越高的 message 越容易被低一点的 type 夸大冒用，所以高区间必须更宽，才能让边界 type 在相邻 messages 间 indifferent。

Formula

给定 interval partition，receiver ex-ante payoff 是

$$E[{\pi }_R]=-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{12}({\theta }_{k+1}-{\theta }_k{)}^3,$$

sender ex-ante payoff 是 $E[{\pi }_S]=E[{\pi }_R]-b^2$。Sol PS4 课件页 1-3｜推荐练习：PS4 Q2, Exam 2025 Q4c-Q4d

Economic Intuition

在固定 bias 下，sender 与 receiver ex ante 都喜欢更精细的信息，因为更细 partitions 降低 action 与 state 的误差。冲突在 interim truth-telling，不在 ex-ante ranking。

Reputation Games

Definition

Reputation game：一个 long-lived player 与一串 short-lived players 互动；少量概率的 behavioral/crazy type 会改变 short-lived players 对 rational type 的 beliefs。Lec 3 课件页 23-31｜推荐练习：PS5 Q1, Exam 2025 Q3

Economic Intuition

即使 rational type 未来会 selfishly defect，只要别人相信他可能是 behavioral type，他就可能为了维持这种 belief 而短期模仿 behavioral type。

Definition

Finitely repeated Prisoner’s Dilemma 加入 crazy type 后，早期 cooperation 可以出现；例如 $T=2$ 中 normal player 2 仍 always defects，但 player 1 在第一期可能因 $q>1/2$ cooperate；$T=3$ 中 normal player 2 也可能第一期 cooperate 来维持 reputation。Lec 3 课件页 26-31

Economic Intuition

普通有限重复 PD 的 backward induction 会消灭合作；但 incomplete information 打断这个逻辑，因为行动不仅给当前 payoff，还影响对方对你是否 crazy/commitment type 的 posterior。

Problem Pattern

Repeated contracting/persistent type 题与 reputation 逻辑相同：第一期 contract/effort 不仅产生当期 payoff，还影响第二期 principal 的 posterior $\hat{\gamma }$，从而改变 continuation rent。Exam 2025 页 3-4｜推荐练习：Exam 2025 Q3, PS5 Q1

Answer Technique

动态声誉题先从最后一期解 optimal action/contract，再把 continuation payoff 代回第一期 IC。不要先猜第一期行为；第一期激励取决于第二期 belief-induced payoff。Lec 1 课件页 35-39; Lec 3 课件页 28-31｜推荐练习：Exam 2025 Q3

Common Mistakes

Common Mistakes

• Cheap talk 里把 message 当作可验证报告；实际上 message 本身无成本、不可承诺。Lec 3 课件页 4-6
• 只求 receiver action，不检查边界 type 的 indifference condition。Lec 3 课件页 16-20｜推荐练习：PS4 Q1
• Reputation 题中忘记 behavioral type 的存在会改变 rational type 的 payoff，即使 rational type 本身没有承诺。Lec 3 课件页 25-31

Topic 4: Markets with Adverse Selection

整节课不考!!!

Akerlof-Style Market

Definition

Adverse selection：交易意愿与私人信息相关，导致愿意交易的人群不是总体的随机样本。Lec 4 课件页 3-10｜推荐练习：PS5 Q2-Q3

怎么感觉跟 Labour 的还有点关系？

Economic Intuition

价格不仅分配 surplus，还筛选参与者。买方/firm 看到愿意以某个价格交易的人，会推断这群人的平均质量可能更低。

Definition

Private information labor market：worker type/productivity $\theta$ 私人知道，firm 只知道接受 wage $w$ 的 worker 集合；competitive equilibrium wage 等于接受者的平均 productivity。Lec 4 课件页 4-7

Formula

如果接受集合由 $r(\theta )\le w$ 描述，则 equilibrium wage 满足

$$w^{\ast }=E[\theta \mid r(\theta )\le w^{\ast }].$$

Lec 4 课件页 6-10｜推荐练习：PS5 Q2-Q3

Economic Intuition

Firm 的 zero-profit wage 必须等于被雇佣者平均 productivity；但 wage 越高，接受者集合也变，平均质量随之内生变化。

Definition

Market unraveling：若高 type 的 outside option 更高，较高 wage 吸引来的新增 workers 可能仍然平均质量不足，使 equilibrium 只雇佣最低 type。Lec 4 课件页 9-11｜推荐练习：PS5 Q3

Economic Intuition

市场崩掉不是因为没有 gains from trade，而是因为无法区分质量。高质量者不愿以 pooling price 出售，低质量者留下，进一步压低 price。

Competitive Screening

Definition

Screening in competitive markets：firm 通过 menu of contracts $(w,t)$ 让不同 worker types 自我选择；$t$ 是 costly task。Lec 4 课件页 12-17

Economic Intuition

Screening 与 signalling 相反：signalling 是 informed side 主动选 signal；screening 是 uninformed side 设计一组合同让 informed side 自己暴露 type。

Formula

在两类 worker screening equilibrium 中，low type 接受 $({\theta }_L,0)$，high type 接受 $({\theta }_H,{\hat{t}}_H)$，其中 ${\hat{t}}_H$ 使 low type 不愿模仿 high-type contract。Lec 4 课件页 17, 21-23

Economic Intuition

High type 的工资反映 productivity，但必须附带 costly task 以防 low type mimicking。扭曲落在 high-type contract 的任务要求上；这和 Spence 的 education cost 是同一个 sorting logic。

Formula

No pooling equilibrium：若两类 worker 接受同一 contract，firm 可设计小幅偏离 contract 吸引有利类型并获得正利润。Lec 4 课件页 18-20

Economic Intuition

竞争下 pooling 很脆弱，因为任何 firm 都想 cream-skim：稍微改 contract，只吸引高质量/低成本群体。

Exam Evidence

2025 past exam 未直接考 adverse selection/screening，但 PS5 Q2-Q3 覆盖 positive selection 与 certification，说明这块仍是 problem set 重点。Exam 2025 页 2-5; PS5 Q2-Q3

Problem Patterns

Problem Pattern

• Positive selection：当 $r(\theta )$ 随 $\theta$ 下降时，接受工作的是更 capable workers，并可能出现过度 employment。PS5 Q2
• Certification：把市场分成 certified/uncertified 两个 pool，分别求 equilibrium wage 与 employment threshold。PS5 Q3
• Screening diagrams：用 indifference curves 与 zero-profit lines 证明 no pooling、separating contract、possible nonexistence。Lec 4 课件页 16-24

Common Mistakes

• 把 adverse selection 写成“低质量多”，而不是“交易集合因私人信息而被选择”。Lec 4 课件页 9
• 忘记 competitive equilibrium wage 要等于实际接受者的平均 productivity，而不是 unconditional mean。Lec 4 课件页 6-10
• Screening 中只写 IC，不检查 firm deviations/zero profit。Lec 4 课件页 18-24

Topic 5: Contracting with Hidden Action / Moral Hazard

Moral Hazard Setup

如何理解 First-Best? 即若 effort 可观测而且可以写入合同，唯一需要的就是满足 $IR$ .

first-best 的本质是，当信息完全的时候，在合同制定时只需要解决参与问题（IR）而不是激励问题（IC）。 IR 可以简单理解为，合同需要设计成让 agent 的期望收益比 outside option 高的情况。

Definition

Moral hazard：principal 不能观察 agent effort $e$，只能观察与 effort 相关的 outcome/profit $\pi$，并用 wage schedule $w(\pi )$ 提供激励。Lec 5 课件页 3-5｜推荐练习：PS6 Q1-Q2, PS7 Q1, Exam 2025 Q2

注意这里给出的 $wage$ 是按照具体的产出决定的，因为看不到真正的 effort，只能通过验收成果来倒推。

Economic Intuition

问题不是 agent 不知道该做什么，而是 effort 不可验证，无法直接写进合同。合同必须通过 noisy performance signal 间接奖励 effort。

Formula

Contractible effort benchmark:

$$\underset{w,e}{\max }\int (\pi -w(\pi ))f(\pi \mid e)d\pi$$

subject to

$$\int v(w(\pi ))f(\pi \mid e)d\pi -c(e)\ge \bar{u}.$$

Lec 5 课件页 6-9

Economic Intuition

若 effort 可 contract，principal 只需选择 efficient effort 并给 agent 最便宜的保险。risk-averse agent 面对 risk-neutral principal 时，最优 wage 是 flat wage。

Formula

给定 effort $e$，contractible benchmark 的 FOC 给出

$$\frac{1}{v^{\prime }(w(\pi ))}=\lambda ,$$

所以 $w(\pi )$ 不随 $\pi$ 变化。Lec 5 课件页 7-8

Economic Intuition

flat wage 是 optimal insurance：如果 effort 已经被锁定，没必要让 risk-averse agent 承担 outcome risk。

大量的 Lagrangian 在这里。

Hidden Action

Formula/Proposition

若 agent risk-neutral，可通过 $w(\pi )=\pi -\alpha$ 把 firm “卖给 agent”，使 agent internalize output return。Lec 5 课件页 10-11

Economic Intuition

risk-neutral agent 不怕风险，所以最强激励是让他成为 residual claimant。principal 用 fixed fee $\alpha$ 抽取 surplus。

Formula

Case 2

Risk-averse agent、implement high effort $e_H$ 的最优 contract FOC:

$$\frac{1}{v^{\prime }(w(\pi ))}=\lambda +\mu \left[1-\frac{f(\pi \mid e_L)}{f(\pi \mid e_H)}\right],$$

其中 participation constraint 与 incentive constraint 都 bind。Lec 5 课件页 12-17｜推荐练习：PS6 Q2

Economic Intuition

工资随 outcome 变化，是为了让高 effort 更有吸引力；但变化越大，risk-averse agent 承担风险越多，principal 必须补偿 risk premium。这就是 insurance-incentive trade-off。

Definition

Monotone Likelihood Ratio Property (MLRP)：$f(\pi \mid e_L)/f(\pi \mid e_H)$ 随 $\pi$ 下降时，高 outcome 更支持 high effort；最优 high-effort wage 随 $\pi$ 单调上升。Lec 5 课件页 17-18｜推荐练习：PS6 Q1

Economic Intuition

MLRP 说 outcome 越高，越像是 high effort 产生的。因此高 outcome 应得更高工资，既奖励努力，也避免把奖励浪费在不含信息的 outcome 上。

Formula

Hidden action 下 agent 的 expected wage 高于 contractible effort case，因为 non-flat wage 让 risk-averse agent 承担风险，需要 risk premium。Lec 5 课件页 19-20

Economic Intuition

Moral hazard 的福利损失来自两个方向：努力可能偏低，以及为了诱导努力必须制造 wage risk。

Informativeness and Sufficient Statistics

Formula

若额外信号 $y$ 与 effort 无关，或在给定 $\pi$ 后不再提供关于 effort 的信息，则 optimal contract 不使用 $y$。形式上，若

$$f(\pi ,y\mid e)=f_1(\pi \mid e)f_2(y\mid \pi ),$$

则 $y$ 是无用信息。Lec 5 课件页 21-23

Economic Intuition

合同只应该奖励“关于 effort 的信息”。纯噪声只增加 wage risk，不改善 incentive provision。

LEN Model

Definition

LEN model：linear contract $w(\pi )=a+b\pi$，exponential utility，normal noise；agent effort 连续。Lec 5 课件页 24-28

Formula

最优 bonus $b^{\ast }$ 随 risk aversion $\eta$ 和 noise variance ${\sigma }^2$ 上升而下降；努力 $e^{\ast }=b^{\ast }/c$ 也下降。Lec 5 课件页 26-28

Economic Intuition

bonus 是激励强度。风险越大或 agent 越怕风险，给强 bonus 的保险成本越高，所以 principal 降低激励并接受较低 effort。

Problem Patterns

Problem Pattern

• Limited liability + MLRP：最小成本 high-effort contract 只在最高 outcome 付正工资。PS6 Q1; Sol PS6 课件页 1-2
• Two-output optimal contract：先写 IC/IR，通常 low-output wage 压到最低，高-output wage 用 binding IC 定。PS6 Q2; Sol PS6 课件页 2-4
• Uniform noise special case：构造 punishment region 可达到 first-best，即 hidden action 未必总造成 welfare loss。PS7 Q1; Sol PS7 课件页 1-2
• Hidden type + hidden action：分别比较“诱导两类 high effort”“只诱导 low-cost high effort”“都 low effort”的最小成本合同与 expected payoff。Exam 2025 页 2-3

Answer Technique

Moral hazard 题最稳结构：先明确要 implement 哪个 effort/type set；写 IC；把 participation/limited liability/nonnegativity 约束放进去；用 binding constraints 求 minimum cost；最后比较 principal payoff。Lec 5 课件页 12-20｜推荐练习：PS6 Q2, Exam 2025 Q2

Common Mistakes

• 把 first-best contract 与 hidden-action contract 混在一起；first-best 可以 flat wage，hidden action 通常必须 performance-based。Lec 5 课件页 6-20
• MLRP 题中说“高 output 好所以多付”，但不说明高 output 是 high effort 的更强 evidence。Lec 5 课件页 17-18｜推荐练习：PS6 Q1
• 2025 Q2/Q3 这类题不要忘记 hidden type：同一 contract 对 low-cost 和 high-cost agent 的 IC 不同。Exam 2025 页 2-4

Topic 6: An Introduction to Mechanism Design

Motivation

Definition

Mechanism design 把问题反过来：不是给定 game 求 equilibrium，而是 designer 设计规则，使 agents 在私人信息下的 equilibrium 实现目标 allocation/payment。Lec 6 课件页 3-5

Economic Intuition

如果 information constraints 无法消除，designer 的工具不是命令 truth，而是设计 incentives 让 truth-telling 自愿发生。

Two-Type Screening

Definition

Simple screening：seller 面对 buyer type ${\theta }_L,{\theta }_H$，buyer utility 为 $\theta q-p$，seller 选择 menu $(q_L,p_L),(q_H,p_H)$。Lec 6 课件页 6-11｜推荐练习：PS7 Q2

Formula

Two-type optimal screening 的典型性质：high type 的 quantity 无 distortion，满足 $c^{\prime }(q_H)={\theta }_H$；low type quantity downward distorted；high type 获得 information rent；low type IR bind。Lec 6 课件页 8-11｜推荐练习：PS7 Q2

Economic Intuition

高 type 更愿意购买高 quantity。为了阻止高 type 假装低 type，seller 必须给 high type 留 rent；为了减少这笔 rent，seller 降低 low-type package 的吸引力，于是 low quantity 被扭曲向下。高 type 不扭曲是 no distortion at the top。

Direct Mechanisms and Revelation Principle

Definition

Direct mechanism 直接要求 agent report type，并规定 $(q(\hat{\theta }),p(\hat{\theta }))$；incentive compatibility 要求 truth-telling 对每个 type 最优，individual rationality 要求参与不低于 outside option。Lec 6 课件页 12-14

Economic Intuition

Direct mechanism 不是说现实中一定直接问 type，而是 revelation principle 允许我们把任何 equilibrium outcome 翻译成一个 truth-telling direct mechanism 来分析。

Definition

Revelation Principle：若某 general mechanism 的某 equilibrium 实现某 outcome，则存在 direct mechanism，在 truth-telling equilibrium 下实现同一 outcome。Lec 6 课件页 12-14; Lec 7 课件页 13-15｜推荐练习：PS9 Q2

Economic Intuition

所有策略复杂性都可以“折叠”进机制规则里。分析者只需找 truth-telling IC direct mechanisms，就没有丢掉可实现结果。

Continuum Types and Virtual Values

Definition

连续 type screening 中，令

$$U(\theta )=\theta q(\theta )-p(\theta ).$$

IC 等价于 $q$ nondecreasing 且

$$U(\theta )=U(\underline{\theta })+{\int }_{\underline{\theta }}^{\theta }q(\tilde{\theta })d\tilde{\theta }.$$

Lec 6 课件页 15-18｜推荐练习：PS8 Q1

Economic Intuition

高 type 边际上更喜欢 quantity，所以 truthful allocation 必须单调。Integral formula 说，高 type 的 rent 正是一路累积的 marginal quantity benefit。

Formula

Seller objective 可重写成 virtual surplus:

$${\int }_{\underline{\theta }}^{\bar{\theta }}\left[\left(\theta -\frac{1-F(\theta )}{f(\theta )}\right)q(\theta )-c(q(\theta ))\right]f(\theta )d\theta .$$

Virtual value:

$$\Psi (\theta )=\theta -\frac{1-F(\theta )}{f(\theta )}.$$

Lec 6 课件页 19-22｜推荐练习：PS8 Q2

Economic Intuition

卖方收入最大化不是最大化真实 surplus $\theta q-c(q)$，而是最大化扣除 information rent 成本后的 virtual surplus。$\frac{1-F}{f}$ 是给更高 type 留 rent 的 shadow cost。

Definition

Myerson regularity：virtual value $\Psi (\theta )$ nondecreasing。regular case 下可 pointwise maximize virtual surplus；non-regular case 需要 ironing。Lec 6 课件页 21-23

Economic Intuition

IC 要求 allocation 随 type 单调。若 virtual value 本身单调，pointwise solution 自动满足 IC；若不单调，需要 ironing 把不单调部分“抹平”成可实施 allocation。

Formula

Take-it-or-leave-it single-unit selling：optimal posted price/reserve ${\theta }^{\ast }$ 解

$${\theta }^{\ast }-\frac{1-F({\theta }^{\ast })}{f({\theta }^{\ast })}=c.$$

Lec 6 课件页 24-26

Economic Intuition

价格高于成本，不只是垄断 markup，也是在筛选高 valuation buyer。seller 宁可放弃一些 positive-surplus trades，以减少低价出售给高 type 带来的 rent loss。

Problem Patterns

Problem Pattern

• Taxation principle：从 direct mechanism 的 $q,p$ 构造 nonlinear tariff $P(q)$，让 type 自选对应 quantity。PS8 Q1
• Closed-form mechanism：先算 $\Psi (\theta )$，再用 $c^{\prime }(q)=\Psi (\theta )$；若 $\Psi \le 0$ 则 no trade/zero quantity。PS8 Q2; Lec 6 课件页 20-22
• Nonnegativity constraints：用 KKT multipliers 检查 $q_L\ge 0,q_H\ge 0$ 是否 bind。PS7 Q2; Sol PS7 课件页 2-3

Common Mistakes

• 把 $p(\theta )$ 当成自由选择；在 IC 下，price function 基本由 $q(\theta )$ 与最低 type utility pin down。Lec 6 课件页 16-18
• 忘记 virtual value 可能为负；收入最大化时正 surplus trade 也可能不发生。Lec 6 课件页 21-26
• 只写 revelation principle 名字，不说明它允许限制到 direct truthful mechanisms。Lec 6 课件页 12-14

Topic 7: Mechanism Design and Optimal Auctions

Auction Basics

Definition

Independent Private Values (IPV)：一个物品、$n$ 个 bidders；bidder $i$ 的 valuation $v_i\sim F[0,1]$ 独立同分布，自己知道 $v_i$，seller 与其他 bidders 不知道。Lec 7 课件页 4｜推荐练习：PS9 Q1-Q4

Economic Intuition

Private value 下，赢得物品的价值只取决于自己的 type；竞争来自不知道别人愿意出多少钱，而不是共同价值估计误差。

Definition

常见 auctions：first-price、all-pay、second-price/Vickrey、English、Dutch；English 动态实现 second-price，Dutch 动态实现 first-price。Lec 7 课件页 5-6｜推荐练习：PS9 Q1

Economic Intuition

不同 auction format 改变的是 payment rule 和 strategic shading，不一定改变 allocation rule。Revenue equivalence 正是抓住这一点。

Formula

Second-price auction 中 truthful bidding $b(v)=v$ 是 dominant strategy。Lec 7 课件页 7-8

Economic Intuition

你的 bid 只决定是否赢，不决定赢时付多少钱；最优 cutoff 就是自己的 valuation。bid 低了可能错失 profitable win，bid 高了可能赢下 negative-surplus trade。

Formula

First-price symmetric equilibrium bidding:

$$b(v_i)=\frac{{\int }_0^{v_i}x{f}_{n-1}^{\max }(x)dx}{F_{n-1}^{\max }(v_i)}.$$

Lec 7 课件页 9-11｜推荐练习：PS9 Q1

Economic Intuition

First-price bid 是在“赢的概率”和“赢时利润”之间 trade off。均衡中 bid shaded below value，因为赢家支付自己的 bid。

Direct Mechanisms and Revenue Equivalence

Definition

Auction mechanism 可写成 action spaces $M_i$、allocation probabilities $p_i$、payments $t_i$；direct mechanism 让 bidder report valuation。Lec 7 课件页 12-17｜推荐练习：PS9 Q2

Economic Intuition

Auction 也是 mechanism design：bid 是 message，allocation/payment rule 决定 incentives。把 bid space 换成 type report 后，可直接用 IC 和 envelope formula。

Formula

Bayesian IC direct mechanism 中，interim winning probability $P_i(v_i)$ 必须 nondecreasing，且 interim utility 满足

$$U_i(v_i)=U_i(0)+{\int }_0^{v_i}{P}_i(x)dx.$$

Lec 7 课件页 16-17

Economic Intuition

Valuation 越高越愿意赢，所以可实施的 allocation 必须让高 type 至少不比低 type 更少赢。Utility integral 是高 type 因更高 valuation 累积出来的信息 rent。

Formula

Revenue Equivalence Theorem：若两个 IC direct mechanisms 有同一 allocation rule 且最低 type payoff 相同，则每个 type 的 expected payment 与 seller expected revenue 相同。Lec 7 课件页 18-20｜推荐练习：PS9 Q3

Economic Intuition

同一 allocation rule 固定了每个 type 赢的概率函数 $P_i$；IC 又固定了 utility slope；最低 type utility 相同就 pin down 整条 utility curve，因此 expected payment 也被 pin down。

Optimal Auctions

Formula

Seller expected revenue 可写成 virtual surplus：

$$\sum _i{\int }_0^1\left(v_i-\frac{1-F_i(v_i)}{f_i(v_i)}\right)P_i(v_i)f_i(v_i)d{v}_i-U_i(0).$$

Lec 7 课件页 21-23

Economic Intuition

收入最大化把 bidder 的 valuation 换成 virtual valuation，因为把物品给高 type 时，seller 还要支付/放弃相应的信息租。

Formula

Regular case optimal auction：把物品给最高非负 virtual value 的 bidder；若所有 virtual values 都为负，则不出售。若 bidders i.i.d. regular，second-price auction with reserve price 最优，reserve $r$ 满足

$$r=\frac{1-F(r)}{f(r)}.$$

Lec 7 课件页 22-24｜推荐练习：PS9 Q4

Economic Intuition

效率要求给最高 valuation；收入最大化要求给最高 virtual valuation。reserve price 是 seller 对“低 virtual value trade”说不，从而牺牲部分效率换取更高收入。

Problem Patterns

Problem Pattern

• Directly compute bidding functions by bidder FOC for modified first-price/all-pay/losers-pay auctions。PS9 Q1; Sol PS9 课件页 1-4
• Construct direct mechanisms implementing indirect auction equilibria。PS9 Q2; Sol PS9 课件页 4-6
• Use revenue equivalence to solve mixed first/second-price auction。PS9 Q3; Sol PS9 课件页 6-8
• Compute reserve-price revenue with order statistics and verify Myerson reserve。PS9 Q4; Sol PS9 课件页 8-11

Common Mistakes

• Revenue equivalence 不等于所有 auctions 收入一样；必须 allocation rule 与最低 type utility 相同。Lec 7 课件页 18-21
• Optimal auction 不一定 efficient；可能不卖，也可能给最高 virtual value 而非最高 valuation。Lec 7 课件页 23-24
• First-price FOC 必须先对 off-equilibrium bid 求导，再用 symmetry 代入 $b=b(v)$。Lec 7 课件页 9-10｜推荐练习：PS9 Q1

Past Exam Analysis

What 2025 Actually Tested

Question	Topic	Core skill	Source
Q1	Beer-Quiche signalling	pooling/mixed/separating PBE; intuitive criterion under payoff variation	Exam 2025 页 2｜推荐练习：PS3 Q3
Q2	Moral hazard with hidden type and hidden action	cost-minimizing contracts for different effort/type targets; compare principal payoff	Exam 2025 页 2-3｜推荐练习：PS6 Q2
Q3	Repeated contracting	posterior belief, continuation payoff, first-period incentive constraints	Exam 2025 页 3-4｜推荐练习：PS5 Q1, PS6 Q2
Q4	Cheap talk	construct two-message equilibrium; disprove candidate strategy; compare ex-ante payoffs; explain equilibrium vs Pareto ranking	Exam 2025 页 4-5｜推荐练习：PS4 Q1-Q2

Economic Intuition

2025 的题目共同点是“构造并解释 equilibrium”，不是机械背 theorem。每题都要求你把 incentive constraint 或 indifference condition 讲清楚：sender 为什么不偏离，agent 为什么 effort，principal 为什么这样更新 belief，cheap-talk 边界 type 为什么 indifferent。

Likely Exam-Useful Skills

Answer Technique

1. Equilibrium construction template：strategies $\to$ beliefs $\to$ best responses $\to$ deviations/refinement。Lec 2 课件页 3-13｜推荐练习：Exam 2025 Q1
2. IC-first contract template：先指定 implement target，再写最低成本 contract；最后比较 payoff。Lec 5 课件页 12-20｜推荐练习：Exam 2025 Q2
3. Backward induction with beliefs：最后一期 optimal policy 先解，再代回第一期 incentive。Lec 1 课件页 35-40; Lec 3 课件页 28-31｜推荐练习：Exam 2025 Q3
4. Threshold/partition cheap-talk template：receiver posterior mean + boundary type indifference + ex-ante payoff comparison。Lec 3 课件页 15-22｜推荐练习：Exam 2025 Q4

Common Mistakes

• 因为 2025 没考 auctions/mechanism/adverse selection，就误以为今年不会考；样本只有一份，证据太少。Syllabus 页 1; Exam 2025 页 1-5

21-Hour Problem-First Review Roadmap

默认 7 次，每次 3 小时。每次都按同一节奏走：

Time	Task
0:00-0:20	预览题目，写出每小问考什么
0:20-1:35	不看 notes 轻计时尝试
1:35-2:20	对照 solution/课件，标出 gap
2:20-2:50	回到精确课件页修补概念/公式
2:50-3:00	更新 error log，选下一次 redo target

Session 1: Signalling and PBE

Goal

能在 Beer-Quiche 与 Spence 中完整构造 PBE，并解释 off-path beliefs 与 refinement。Lec 2 课件页 4-39

Start from questions

先做 Exam 2025 Q1 和 PS3 Q3；若还有时间，看 PS3 Q1 的 payoff comparison。Exam 2025 页 2｜推荐练习：PS3 Q1, PS3 Q3

Return to notes

回看 Beer-Quiche equilibrium construction 与 Intuitive Criterion：Lec 2 课件页 7-13, 23-31; Spence single crossing 与 least-cost separating：Lec 2 课件页 14-22, 29-35; D1 补充：EC487_Lecture_3_Sup 课件页 29-34, 35-51.

Fix the gap

把每个 candidate equilibrium 写成四行：sender strategy、belief、receiver action、deviation check。refinement 额外写“哪些 type 不可能偏离”。Lec 2 课件页 24-26

Output

一页 Beer-Quiche/Spence PBE checklist + intuitive criterion mini-template。

Session 2: Cheap Talk

Goal

能从 interval partition 构造 cheap-talk equilibrium，并比较 ex-ante payoff。Lec 3 课件页 4-22

Start from questions

先做 Exam 2025 Q4，再做 PS4 Q1-Q2；PS4 solution 可用于核对 recurrence 与 payoff formula。Exam 2025 页 4-5｜推荐练习：PS4 Q1-Q2

Return to notes

回看 receiver best response、babbling/fully revealing、two-message cutoff、$n$-interval recurrence：Lec 3 课件页 7-21; payoff derivation：Sol PS4 课件页 1-3.

Fix the gap

所有 cheap-talk 题都先写 receiver action as posterior mean，再写 boundary type indifference；不要直接猜 cutoffs。Lec 3 课件页 15-20

Output

一张 cheap-talk formula sheet：$a(m)$、${\theta }_1=1/2-2b$、interval recurrence、ex-ante payoff。

Session 3: Moral Hazard Contracts

Goal

能区分 first-best、hidden action、limited liability、risk aversion，并用 IC/IR 解最小成本 contract。Lec 5 课件页 3-23

Start from questions

做 Exam 2025 Q2，再做 PS6 Q1-Q2；用 Sol PS6 核对 KKT 与 two-output closed form。Exam 2025 页 2-3｜推荐练习：PS6 Q1-Q2

Return to notes

回看 first-best flat wage：Lec 5 课件页 6-9; risk-neutral sell-the-firm：Lec 5 课件页 10-11; risk-averse FOC 与 MLRP：Lec 5 课件页 12-20; informativeness：Lec 5 课件页 21-23.

Fix the gap

把“implement high effort”的 IC 写成 high effort utility $\ge$ low effort utility；若有 limited liability，先判断哪些 wage 会被压到 lower bound。PS6 Q1-Q2; Sol PS6 课件页 1-4

Output

一份 contract problem skeleton：objective, IC, IR/LL, binding constraints, payoff comparison。

Session 4: Dynamic Beliefs, Reputation, Repeated Contracting

Goal

掌握 backward induction with posterior beliefs，特别是第一期 action 如何影响第二期 belief/rent。Lec 1 课件页 31-40; Lec 3 课件页 23-31

Start from questions

做 Exam 2025 Q3，再看 PS5 Q1 的 seller reputation。Exam 2025 页 3-4｜推荐练习：PS5 Q1

Return to notes

回看 repeated entry game 的 belief updating：Lec 1 课件页 35-38; PBE definition：Lec 1 课件页 39-40; reputation PD：Lec 3 课件页 26-31; repeated contribution belief histories：repeated contribution game 课件页 3-14.

Fix the gap

先解最后一期策略与 payoff，再把 continuation value 放进第一期 IC。任何第一期 effort/action 都要问：它改变了对方明天的 posterior 吗？Exam 2025 页 3-4

Output

一张 posterior-updating table：history, belief, continuation contract/action, type payoff。

Session 5: Adverse Selection and Screening

Goal

能解释 market unraveling、positive selection、certification，以及 competitive screening 的 no-pooling logic。Lec 4 课件页 3-25

Start from questions

做 PS5 Q2-Q3；若时间不足，至少完整做 certification market equilibrium。PS5 Q2-Q3

Return to notes

回看 Akerlof wage fixed point：Lec 4 课件页 4-11; screening setup 与 separating contract：Lec 4 课件页 12-25.

Fix the gap

Adverse selection 题先写“谁接受 wage/contract”，再由这个接受集合算 average productivity/wage。Screening 题必须检查 firm deviations。Lec 4 课件页 6-10, 18-24

Output

一页 adverse-selection diagram notes：acceptance set, average quality curve, 45-degree equilibrium, certification split markets。

Session 6: Mechanism Design

Goal

能把 IC constraints 转成 monotonicity + integral formula，并用 virtual value 解 screening。Lec 6 课件页 12-23

Start from questions

做 PS8 Q1-Q2，再用 PS7 Q2 练 KKT/nonnegativity constraints。PS8 Q1-Q2｜推荐练习：PS7 Q2

Return to notes

回看 two-type screening：Lec 6 课件页 6-11; direct mechanism/revelation principle：Lec 6 课件页 12-14; continuum IC lemma 与 virtual value：Lec 6 课件页 15-23.

Fix the gap

每道 mechanism 题都先问：allocation monotone 吗？payment 能否由 utility/integral formula pin down？virtual value 是否 regular？Lec 6 课件页 16-23

Output

一页 mechanism-design checklist：IC, IR, monotonicity, integral formula, virtual value, ironing warning。

Session 7: Auctions and Full Exam Rehearsal

Goal

掌握 auction bidding FOC、revenue equivalence、optimal reserve，并做一次 2 小时综合模拟。Lec 7 课件页 3-24

Start from questions

先做 PS9 Q1-Q4 中最弱的两题；然后用 Exam 2025 四题做 2 小时 compressed rehearsal。PS9 Q1-Q4; Exam 2025 页 2-5

Return to notes

回看 Vickrey truth-telling：Lec 7 课件页 7-8; first-price FOC：Lec 7 课件页 9-11; revenue equivalence：Lec 7 课件页 16-20; optimal auctions：Lec 7 课件页 21-24; PS9 solution：Sol PS9 课件页 1-11.

Fix the gap

如果 bid-function derivation 卡住，重新写 bidder deviation problem；如果 revenue equivalence 卡住，写 allocation rule + lowest type utility 是否相同。Lec 7 课件页 9-20

Output

最终 2 页：formula sheet + top 10 error log，每个 error 后写对应 source page。

Quick Reference

Concept	Key result / formula	Source
BNE	Strategy is type-contingent: $s_i:{\Theta }_i\to S_i$	Lec 1 课件页 11, 15｜推荐练习：PS1 Q1
Harsanyi transformation	Nature first selects types; incomplete information becomes imperfect information	Lec 1 课件页 12-14
Public good threshold	Contribute iff $c_i\le z_{-i}$; with $U[0,2]$, symmetric $c^{\ast }=2/3$	Lec 1 课件页 18-19
PBE	Sequential rationality + belief consistency	Lec 1 课件页 39-40; Lec 2 课件页 3-6
Spence separating	$e_L=0$ and $c(e_H,{\theta }_L)\ge {\theta }_H-{\theta }_L\ge c(e_H,{\theta }_H)$	Lec 2 课件页 17-18｜推荐练习：PS3 Q1
Single crossing	High type has lower marginal signalling cost	Lec 2 课件页 19
Intuitive Criterion	Restrict off-path beliefs to types for whom deviation is not equilibrium dominated	Lec 2 课件页 24-31
D1	Keep types with stronger deviation incentives	Lec 2 课件页 36-39; EC487_Lecture_3_Sup 课件页 29-34
Cheap talk receiver action	$a^{\ast }(m)=E[\theta \mid m]$	Lec 3 课件页 7
Cheap talk two-message cutoff	${\theta }_1=1/2-2b$	Lec 3 课件页 15-18｜推荐练习：PS4 Q1
Cheap talk interval recurrence	$({\theta }_{k+1}-{\theta }_k)=({\theta }_k-{\theta }_{k-1})+4b$	Lec 3 课件页 19-21｜推荐练习：PS4 Q1
Adverse selection wage	$w^{\ast }=E[\theta \mid r(\theta )\le w^{\ast }]$	Lec 4 课件页 6-10｜推荐练习：PS5 Q3
Screening	Menus separate types through costly task/quantity distortion	Lec 4 课件页 12-25; Lec 6 课件页 6-11
First-best moral hazard	Contractible effort + risk-averse agent gives flat wage	Lec 5 课件页 6-9
Hidden action FOC	$\frac{1}{v^{\prime }(w(\pi ))}=\lambda +\mu [1-f(\pi \mid e_L)/f(\pi \mid e_H)]$	Lec 5 课件页 15-17｜推荐练习：PS6 Q2
MLRP	Optimal high-effort wage monotone in outcome iff likelihood ratio supports high effort	Lec 5 课件页 17-18｜推荐练习：PS6 Q1
Sufficient statistic	Do not use signal $y$ if it adds no effort information conditional on $\pi$	Lec 5 课件页 21-23
Revelation Principle	Any equilibrium outcome of a general mechanism can be implemented by truthful direct mechanism	Lec 6 课件页 12-14; Lec 7 课件页 13-15
IC envelope	$U(\theta )=U(\underline{\theta })+{\int }_{\underline{\theta }}^{\theta }q(\tilde{\theta })d\tilde{\theta }$	Lec 6 课件页 16-18｜推荐练习：PS8 Q1
Virtual value	$\Psi (\theta )=\theta -\frac{1-F(\theta )}{f(\theta )}$	Lec 6 课件页 20-22; Lec 7 课件页 21-24
Vickrey truth-telling	In second-price auction, $b(v)=v$ is dominant	Lec 7 课件页 7-8
First-price bid	$b(v)=\frac{{\int }_0^{v}x{f}_{n-1}^{\max }(x)dx}{F_{n-1}^{\max }(v)}$	Lec 7 课件页 9-11｜推荐练习：PS9 Q1
Revenue equivalence	Same allocation + same lowest-type payoff implies same expected payments/revenue	Lec 7 课件页 18-20｜推荐练习：PS9 Q3
Optimal auction	Allocate to highest nonnegative virtual value; i.i.d. regular case implemented by second-price auction with reserve	Lec 7 课件页 22-24｜推荐练习：PS9 Q4

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明确会考的内容

Lecture 1: 不完全信息静态博弈

• Bayesian Nash Equilibrium 的定义和求解（策略是类型到行动的函数，期望收益最大化）
• Harsanyi 的 Nature 表示法（将不完全信息博弈转化为不完全信息的完全博弈）
• Contribution game 的求解——教授明确说”fair to expect you can solve this one”

Lecture 2: 信号博弈与 Weak PBE

• Weak PBE 的定义：策略 + 信念，optimality + consistency，是全课用得最多的均衡概念
• Beer-Quiche game：所有均衡（无分离均衡、两个混同均衡），包括混合策略均衡——教授说”I would know the beer and quiche game”
• Spence signalling game：分离均衡、混同均衡、均衡的连续统——教授说”these two are two examples you want to know”
• Intuitive Criterion：知道概念（对 off-path belief 的合理性约束），知道如何在 Beer-Quiche 和 Spence 这两个具体例子中应用。教授明确说不会要求你对全新博弈应用 IC
• Off-path beliefs 的角色：为什么 off-path beliefs 的任意性导致均衡多重性

Lecture 3: Cheap Talk

• Crawford-Sobel cheap talk game：教授说”everything that we did in terms of the cheap talk game seems fair play”
• Babbling equilibrium 的存在性证明
• 完全揭示均衡仅当 $b=0$ 时存在
• Interval/partitional equilibrium 的构造（猜测→求信念→求最优响应→验证）
• 递推公式、$\bar{N}(b)$ 最大消息数
• 需要知道证明——教授明确说”I’d say yes in this case”
• Problem set 中关于 ex ante alignment vs interim misalignment 的分析

Lecture 5: 道德风险 (Moral Hazard)

• First best（可观察effort）vs Second best（不可观察effort）的对比
• First best: 完全保险、participation constraint binding
• Risk neutral agent 的特殊情况：可以”sell the firm”实现 first best
• Risk averse agent + 二元effort：写 Lagrangian、解 FOC、解释乘子不为零的含义
• MLRP 条件与合同形状的解释（单调性等）
• Jensen’s inequality 论证 second best 成本更高
• LEN model（连续effort、正态分布、线性合同）：first order approach
• Problem set 6 很重要：limited liability 约束、信息精度的比较静态
• 有界分布的特殊情况（effort 完全可推断，first best 可达）

Lecture 6: 机制设计 (单买家 Screening)

• Direct mechanism 的定义——“definitely important, it’s going to come up”
• Revelation Principle：陈述和证明都要知道——“you definitely need to know it”
• 两类型情况的 Lagrangian 求解
• Myerson Lemma（连续类型）：IC + IR 等价于 $U$ 非递减 + $Q$ 非递减 + $U$ 的积分表达式——“you need to know this lemma”（证明不强制要求）
• Virtual valuation、integration by parts 的变换过程（熟悉即可，不需要自己做积分分步）
• 最优机制求解：no distortion at the top, distortion at the bottom, information rent
• Myerson regularity 条件

Lecture 7: 拍卖与多买家机制设计

• First-price auction、second-price auction 的均衡求解——“definitely I would know how to do these examples”
• 从 indirect mechanism 到 direct mechanism 的转换——“definitely something you want to know”
• Interim IC（与 ex post IC 的区别）
• Revenue Equivalence Theorem
• 最优拍卖中的 virtual valuation 与排除规则
• 最后一个 Problem set 非常重要——教授说”this lecture and its problem set, very much, yes”

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明确不考的内容

• Higher-order beliefs / Email game：“this is not in the exam”（仅作为类型丰富性的例子）
• Global games 作为一个概念/refinement：“this is not a word that comes up in my test”（但求解不完全信息博弈+取极限的技术可能考）
• Reputation games / Behavioural players：“I want to promise that this is not in the exam”，“the words behavioural player are not in the exam”
• Lecture 4 整体 (Akerlof / Rothschild-Stiglitz / Rational Expectations Equilibrium)：教授说”all of lecture 4 is off”
• D1 criterion：教授说”if you paid me $10,000 right now, I couldn’t tell you what D1 was”
• First order approach 何时不成立的一般性讨论（超出课程范围）
• Full implementation vs partial implementation 的区别

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考试格式提示

• 去年的考试有4道题，混合了不同topic的工具（如道德风险 + reputation 的组合）
• 考的是新组合的旧工具，不是完全照搬课堂例子，但会有详细的 sub-question 引导
• 去年有一题就是 Beer-Quiche game，一题是 cheap talk game
• 教授建议参考去年考卷来了解结构