It’s intuitive that higher benefit level → longer unemployment durations.
Chetty(2009)
The core trade-off:
- Benefit: Consumption smoothing while unemployed
- Cost: Reduced job search effort (Moral Hazard)
Second-Best Problem
Given , the worker chooses effort:
And we apply the Envelope Theorem:
We can not ignore effects. 这是 Slide 15 的内容，涉及 second-best 问题中对 求导时的一个关键区分。
可以忽略的部分： 对工人效用的影响。因为工人已经最优选择了 ，由 envelope theorem， 的微小变化对工人目标函数的影响是二阶的（FOC 已经为零），所以在对 求导时不需要考虑 随 变化这条路径。
不能忽略的部分： 对政府预算约束的影响。预算约束是 ，这里 出现在约束中。当 增加， 下降，失业人数 增多、就业人数 减少，政府需要从更少的就业者身上征更多税来补贴更多的失业者——这是一阶的财政效应，不能忽略。
直觉上：工人自己已经把 effort 调到最优了，所以 微调对他自己的福利影响很小；但对政府来说， 的变化直接改变了”收税的人数”和”领补贴的人数”的比例，这是实实在在的预算压力。这就是为什么 的表达式里包含了 [Slide 16]。
Why sufficient statistics approach?
Baily-Chetty 公式的核心是：
之所以叫 “sufficient statistic” approach，是因为你不需要知道模型的全部结构参数（如效用函数的具体形式、搜索成本函数 的形状、工资分布等），只需要估计少数几个可观测的 reduced-form 统计量就能评估最优政策：
- LHS：非就业对 UI 补贴的弹性 （可从政策变化的 quasi-experiment 中估计）
- RHS：就业与失业状态间的边际效用差距（可从消费数据中估计）
这是相对于传统 structural approach 的巨大简化。传统方法需要完整地估计和校准整个搜索模型（效用函数参数、搜索技术、wage offer 分布等），然后做 counterfactual simulation。Sufficient statistic approach 绕过了这些，直接用几个弹性就”足够”（sufficient）回答 policy 问题。
代价是什么？公式依赖于特定的模型假设——静态、partial equilibrium、无 spillovers 等。如果放松这些假设，可能需要额外的 sufficient statistics，公式会更复杂。但核心思路不变：用尽可能少的可估计参数来做 welfare analysis。
Estimating LHS from optimal UI formula
In event-study analysis, the hazard of remaining unemployed typically exhibits a sharp decline around the time of benefit exhaustion.
If workers couldn’t smooth their consumption, UI benefits increase cash on hand
- UI raises consumption while unemployed, workers search less because financial pressure is reduced. And longer duration reflects both liquidity effect and Moral Hazard.
Cohen and Ganong (2025) Disemployment effect of Unemployment Insurance
Gerard and Naritomi (2021): Setting
In Brazil, after involuntary job displacement, formal workers are entitled to:
- UI
- FGTS
- Severance Pay
Gruber (1997)
Why when ?
代入 ：
不能为负，所以最优解是 。
直觉是： 意味着工人对消费波动的厌恶程度很低。此时 Baily-Chetty 公式的 RHS（保险价值 ）很小，而 LHS（moral hazard 成本）不变。保险的边际收益不足以抵偿搜索扭曲的边际成本，所以最优策略是根本不提供 UI。
反过来， 时工人极度厌恶消费波动，保险价值足够大，才能 justify 较高的 replacement rate。