Causal Effect

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1. 老师的重要性信号提取

🔴 重点强调

Weak IV 与 S-statistic（p.64–p.81） 老师原话（大意）：“It’s a super good example to conclude my part… very nice topic to see how economics theorem is useful… Beautiful, isn’t it?” 老师花了大量时间讲解这一部分，从 simulation 动机到 local asymptotics 到 S-statistic 的构造，并多次用”beautiful”来形容整个逻辑链条。特别强调了考试中需要写出假设：“If it’s exam, right, tell me your assumptions, then you have to say something like that, right? 2 marks.”

DID 的回归表述与识别假设（p.40–p.47） 老师详细讲解了 two-way within transform 的代数原理，以及如何用 OLS unbiasedness 的逻辑来理解 DID 的识别条件（conditional independence between $D$ and $\epsilon$ given $X$）。明确说这是”recycle OLS idea to talk about assumption”。

RDD：Sharp 和 Fuzzy 的识别与估计（p.48–p.55） 老师对 Sharp RDD 的直觉用图形仔细讲解（“the whole idea”），Fuzzy RDD 的比率表达式也做了完整推导。

⚪ 明确降权

Many IV（p.82–p.93） 老师原话：“I definitely skip many IV… not examinable. Maybe I delete from slides… not nothing, not examinable.”

Synthetic Control（p.56–p.63） 老师原话：“Synthetic control… not examinable, I will delete.” 仅花约5分钟非常简略地提及了基本思想。

❓ 未明确表态的内容

Slides 部分	老师花费时间
Two-way error components model（p.40–p.41）	详细讲解，作为 DID 的准备知识
DID regression formulation（p.42–p.43）	详细讲解，强调与 two-way within transform 等价
DID 识别条件（p.45–p.47）	详细讲解，是本课 DID 部分的核心
Sharp RDD 识别（p.50–p.51）	详细讲解，附带图形直觉
Sharp RDD 估计（p.52）	提到 local linear estimation，与非参回归联系
Fuzzy RDD（p.53–p.55）	中等详细，完整推导了比率表达式
Weak IV simulation（p.65–p.69）	详细讲解，用数值展示问题
Local asymptotics 概念（p.70–p.71）	详细讲解，给出其他例子说明这是通用方法
$\hat{\beta }$ 的极限分布（p.72–p.73）	详细推导
Weak identification 一般化（p.74–p.75）	中等详细，联系 GMM Jacobian
S-statistic（p.77–p.80）	非常详细，老师称之为”beautiful”，给出考试提示
S-statistic 缺陷（p.81）	简要提及

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3. 核心内容摘要

本课完成了因果推断方法的系统讲解。DID 可用 two-way fixed effect 回归理解，其因果识别依赖于处理变量 $D$ 与误差 $\epsilon$ 在控制 $X$ 后的条件独立。RDD 利用阈值附近的局部随机化识别因果效应：Sharp 情形直接取条件均值的左右极限之差，Fuzzy 情形需除以处理概率的跳跃。Weak IV 是本课重点：当工具变量相关性弱时，标准渐近理论失效；通过 local asymptotics（$\gamma =c/\sqrt{n}$）刻画这一现象后，S-statistic 提供了不依赖 $\hat{\beta }$ 的检验方法，在弱识别下仍收敛于 ${\chi }^2$，从而可构造有效置信区间。

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4. 重点知识结构

I. DID：回归表述与识别（p.34–p.47）

• Two-way error components model：$Y_{it}=X_{it}^{\prime }\beta +{\nu }_t+u_i+{\epsilon }_{it}$
• Two-way within transform 消除 ${\nu }_t$ 和 $u_i$
• DID 回归：$Y_{it}={\beta }_0+{\beta }_1{\text{State}}_i+{\beta }_2{\text{Time}}_t+\theta D_{it}+{\epsilon }_{it}$
  • $\theta$ 的 OLS 估计 = DID 估计量
  • 等价于 two-way within transform 后对 ${\ddot{D}}_{it}$ 做 OLS
• 识别假设：
  • (i) $E[{\epsilon }_{it}|X_i]=0$（误差与整个 $X$ 历史无关）
  • (ii) $D_{it}$ 与 ${\epsilon }_{is}$ 条件独立于 $X_i$，对所有 $t,s$

II. RDD（p.48–p.55）

• Sharp RDD：$D=1X\ge c$
  • $\theta (c)={\lim }_{x\downarrow c}m(x)-{\lim }_{x\uparrow c}m(x)$
  • 估计：local linear estimation（边界估计性质好）
• Fuzzy RDD：$P[D=1|X=x]$ 在 $c$ 处不连续
  • $\theta (c)=\frac{{\lim }_{x\downarrow c}m(x)-{\lim }_{x\uparrow c}m(x)}{{\lim }_{x\downarrow c}p(x)-{\lim }_{x\uparrow c}p(x)}$
  • 需估计4个边界极限

III. Weak IV（p.64–p.81）⭐ 核心重点

• 问题：$\gamma \approx 0$ 时标准渐近理论失效
• Local asymptotics：${\gamma }_{0n}=c/\sqrt{n}$
• $\hat{\beta }$ 的极限分布：$\hat{\beta }\stackrel{d}{\to }\beta +\frac{{\xi }_1}{cE[Z^2]+{\xi }_2}$（非正态，不一致）
• GMM 视角：弱识别 = Jacobian 接近零 = 目标函数平坦
• S-statistic：$S(\beta )=n\bar{g}(\beta {)}^{\prime }\hat{\Omega }(\beta {)}^{-1}\bar{g}(\beta )$
  • 无论识别状态如何，$S(\beta )\stackrel{d}{\to }{\chi }_{\dim g}^2$
  • 检验：$S(c)\lessgtr {\chi }_{\alpha }^2(\dim g)$
  • 置信集：$c:S(c)\le {\chi }_{\alpha }^2(\dim g)$

IV. Synthetic Control（p.56–p.63）【老师标注：不考】

V. Many IV（p.82–p.93）【老师标注：不考】

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5. 关键概念与定义

Two-way within transform（双向组内变换） ${\ddot{Y}}_{it}=Y_{it}-{\bar{Y}}_i-{\tilde{Y}}_t+\bar{Y}$ 消除个体固定效应 $u_i$ 和时间固定效应 ${\nu }_t$。经济直觉：减去个体均值消除个体异质性，减去时间均值消除共同时间趋势，加回总均值修正过度减除。

DID 估计量（差中差） $\hat{\theta }=({\bar{Y}}_{T1}-{\bar{Y}}_{T0})-({\bar{Y}}_{C1}-{\bar{Y}}_{C0})$ 经济直觉：用控制组的时间变化作为处理组反事实变化的代理，从而净化出处理效应。无偏性依赖 common trends assumption。

Sharp RDD 识别 $\theta (c)={\lim }_{x\downarrow c}E[Y|X=x]-{\lim }_{x\uparrow c}E[Y|X=x]$ 经济直觉：在阈值附近，稍高于和稍低于阈值的个体几乎相同（“almost like the same person”），因此左右极限之差反映因果效应。

Fuzzy RDD 识别 $\theta (c)=\frac{{\lim }_{x\downarrow c}m(x)-{\lim }_{x\uparrow c}m(x)}{{\lim }_{x\downarrow c}p(x)-{\lim }_{x\uparrow c}p(x)}$ 经济直觉：类似 Wald/IV 估计量，分子是 reduced form 的跳跃，分母是 first stage 的跳跃。Sharp 是特例（分母 = 1）。

Local asymptotics（局部渐近） ${\gamma }_{0n}=\frac{c}{\sqrt{n}},c\ne 0$ 经济直觉：通过让参数随样本量”漂移”（drifting），构造更贴近有限样本现实的渐近框架。标准渐近（$\gamma$ 固定）对弱 IV 场景的近似太粗糙。

Weak identification（弱识别）= Jacobian 问题 $E\left[\frac{\partial g(W,\beta )}{\partial {\beta }^{\prime }}\right]\approx 0$ 经济直觉：GMM 目标函数在 $\beta$ 附近平坦（“flat bottom”），估计量无法锁定真值。

S-statistic $S(\beta )=n\bar{g}(\beta {)}^{\prime }\hat{\Omega }(\beta {)}^{-1}\bar{g}(\beta )\stackrel{d}{\to }{\chi }_{\dim g}^2$ 关键性质：其分布推导不需要 Jacobian 相关假设，因此对弱识别免疫。它是 CU-GMM 的目标函数在真值处的取值。通过反转检验得到置信集。

S-statistic 的局限：临界值为 ${\chi }_{\alpha }^2(\dim g)$，随工具变量个数增加而增大，导致检验功效下降、置信集变宽。

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6. 复习问题

Q1（理解层）：在 DID 回归 $Y_{it}={\beta }_0+{\beta }_1{\text{State}}_i+{\beta }_2{\text{Time}}_t+\theta D_{it}+{\epsilon }_{it}$ 中，为什么 $\theta$ 的 OLS 估计与直接计算 $({\bar{Y}}_{T1}-{\bar{Y}}_{T0})-({\bar{Y}}_{C1}-{\bar{Y}}_{C0})$ 给出完全相同的数值？请用 two-way within transform 的等价性解释。

Q2（理解层）：DID 因果识别条件 (ii) 要求 $D_{it}$ 与 ${\epsilon }_{is}$ 对所有 $t,s$ 无关（不仅仅是 $t=s$）。请用最低工资的例子解释为什么需要跨时间的条件独立。

Q3（应用层）：在 Sharp RDD 中，为什么选择 local linear estimation 而非 Nadaraya-Watson 估计来估计 ${\lim }_{x\downarrow c}m(x)$？（提示：边界估计性质）

Q4（应用层）：在 weak IV 设定 ${\gamma }_{0n}=c/\sqrt{n}$ 下，推导 $\hat{\beta }$ 的极限分布。具体说明为什么上下同除 $\sqrt{n}$（而非 $n$），以及最终极限为什么不是正态分布。

Q5（综合层）：S-statistic $S(\beta )=n\bar{g}(\beta {)}^{\prime }\hat{\Omega }(\beta {)}^{-1}\bar{g}(\beta )$ 收敛到 ${\chi }_{\dim g}^2$ 时，不需要关于 Jacobian 的任何假设。请写出所需的具体假设（老师提示：“If it’s exam, tell me your assumptions”），并解释为什么 two-step GMM 的目标函数不能替代 S-statistic。

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📌 考试信息备忘

• 下周 Reading Week 无课，之后还有 1 节课
• Sample exam 本周末上传；结构：Q1 + Q2 共享（约40/50分是 Otsu 部分），Q3 是 Basil 部分
• Easter break 期间会有 Zoom review（约4月20日那周）
• Many IV 和 Synthetic Control 已确认不考